История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Топ:
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Интересное:
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Дисциплины:
2022-09-15 | 46 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Существование гладких детерминированных решений уравнений гидродинамики, хорошо подтверждаемых как лабораторным, так и натурным экспериментами, свидетельствует о том, что турбулентные режимы течения происходят в результате некоторой трансформации исходных ламинарных течений. Исходной гипотезой при изучении этой трансформации явилось предположение о том, что переход от ламинарного течения к турбулентному происходит в результате развития некоторых возмущений, имеющих место в течениях. В соответствии с этой гипотезой и ставится задача. Итак, рассмотрим некоторое стационарное течение, задаваемое полями скорости, плотности и энергии
(19.1)
и будем считать, что поля (19.1) удовлетворяют уравнениям гидродинамики. Пусть далее на исходное течение наложено некоторое зависящее от времени возмущение
. (19.2)
Рассмотрим теперь задачу Коши для возмущенного движения (19.1), (19.2). Если полученное в результате решение стремится при к стационарному (19.1), то исходное течение является устойчивым, в противном случае – неустойчивым. При этом наличие неустойчивости еще не означает, что результирующее течение окажется турбулентным. На самом деле эволюция течения может оказаться достаточно сложной, исходное ламинарное течение может замениться другим стационарным ламинарным течением. Таких промежуточных ламинарных течений может быть несколько. И только конечным этапом развития неустойчивости будет турбулентное течение.
В случае, если возмущения бесконечно малые (или просто малые), т. е.
, , (19.3)
Рис. 19.1. Устойчивое и неустойчивые положения равновесия
тяжелого шарика на «горбатой» горке
Чтобы решить задачу гидродинамической устойчивости, необходимо еще вывести уравнения для возмущений (19.2). Если возмущения достаточно большие, то соответствующие уравнения будут нелинейными и чрезвычайно сложными, еще сложнее, чем, например, исходные уравнения Навье – Стокса. Поэтому на практике сначала рассматривают гидродинамическую задачу устойчивости относительно малых возмущений. В этом случае уравнения переноса для возмущений получаются линеаризацией исходных уравнений гидродинамики, а затем уже методом возмущений того же типа, что мы использовали при изучении нелинейного осциллятора, исследуется нелинейная задача. Такой метод оказывается применимым, поскольку не существует задач, которые были бы неустойчивы в линейном приближении, но становились бы устойчивыми относительно больших возмущений. Вот обратная ситуация, как мы видели, осуществима!
Линейная устойчивость
Плоскопараллельных течений
Для простоты здесь и ниже мы будем анализировать задачу гидродинамической устойчивости лишь для несжимаемой жидкости. Такое приближение хорошо описывает динамику жидкости, но годится также и для газа, если только скорости течения малы по сравнению со скоростью звука.
Итак, будем предполагать, что жидкость несжимаемая и описывается уравнениями Навье – Стокса (см. уравнения (12.5), (12.9), (12.11))
, . (19.4)
Для дальнейшего удобно перейти к безразмерным переменным
, , , , .
Здесь – характерная скорость течения, а – его масштаб. В этих переменных уравнения (19.4) принимают вид (здесь и в дальнейшем тильда опущена)
, , (19.5)
где мы ввели параметр подобия течения, число Рейнольдса,
. (19.6)
Уравнения для малых возмущений (19.2) получаются линеаризацией уравнений (19.5) около стационарного профиля :
, . (19.7)
Эти уравнения особенно упрощаются для так называемых плоскопараллельных течений, когда профиль скорости является функцией лишь нормальной к направлению течения координаты .
Уравнения (19.7) вместе с граничными и начальными условиями позволяют определить эволюцию любого малого (линейного) возмущения. В результате решения задачи можно найти профили всех возмущений и выяснить, как они ведут себя во времени. Однако на практике обычно поступают проще. Если нас интересует лишь ответ на вопрос устойчивым или нет является некоторое малое возмущение, то задачу интегрирования уравнений (19.7) можно свести к задаче на собственные значения соответствующего оператора. Поскольку коэффициенты системы (19.7) не зависят от переменных , z и t, зависимость ее решений от этих переменных должна быть экспоненциальной, что позволяет искать решение в виде плоской волны
. (19.8)
Подстановка решения (19.8) в уравнения (19.7) дает замкнутую систему четырех уравнений, которая вместе с необходимыми граничными условиями приводит к спектральной задаче. Для ее решения при заданных параметрах стационарного течения необходимо для каждого волнового числа определить набор собственных частот и соответствующих им собственных функций . В общем случае – комплексное число: . Действительная часть задает собственно частоту возмущения, а мнимая определяет скорость его нарастания или затухания . В том случае, когда возмущение нейтрально устойчивое.
Для рассматриваемого класса течений оказывается справедливой так называемая теорема Сквайра.
Теорема Сквайра. Скорость нарастания возмущений, направленных под углом к оси течения (трехмерных по отношению к течению), та же, что и для возмущений, распространяющихся вдоль оси (двумерных) при меньшем числе Рейнольдса.
Рис. 19.2. Кривая нейтральной устойчивости
плоского течения Пуазейля
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!