Системы счисления. Двоичная система счисления и ее применение в вычислительной технике.

Под системой счисления понимают совокупность приемов для представления и записи чисел с помощью определенного количества знаков (цифр).

Мы привыкли считать предметы десятками: десять единиц образуют десяток, десять десятков — сотню, десять сотен — тысячу и т. д. Наша система счисления десятичная. Но десятичная система не единственно возможная. Существуют, например, двенадцатеричная система счисления (там счет идет на дюжины) или римская система счисления.

Различают позиционные и непозиционные системы счисления. В позиционных системах значение (вес) каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Примером позиционной системы является десятичная система счисления. Проанализируем, как представляются числа в этой системе.

Для представления чисел в десятичной системе используются десять цифр: от 0 до 9. Число 2359,407, записанное в десятичной системе, читается как “две тысячи триста пятьдесят девять и четыреста семь тысячных ” и может быть представлено следующим образом:

2-1000+3-100+5-10+9-1+4-0,1+7-0,001. Множители каждого слагаемого представляют собой одну из степеней числа 10, т.е. можно записать:

10^+9-10°+4- 10^ +

10^ + 10^ + 7

10^ +

+ 0 - 10" + 7 - 10"

Подчеркнем, что положение (позиция) цифры определяют ее значение. Двойка, стоящая на первом месте, означает количество тысяч в этом числе, а четверка, стоящая после запятой, — количество десятых долей.

В непозиционных системах значение цифры не зависит от ее позиции. Общеизвестным примером непозиционной системы является римская система счисления. Так, в числе МСХХХ11 (1132) значение цифры Х не изменяется и всегда равно десяти.

В ЭВМ применяются позиционные системы счисления, в основном двоичная система. Применение двоичной системы обусловлено, прежде всего, простотой представления в ЭВМ только двух цифр (0 и 1), которые она использует. Чтобы представить две цифры в ЭВМ, надо иметь элементы с двумя устойчивыми состояниями, одно из которых можно принять за 1, другое — за 0. Таких элементов достаточно много: намагниченный или ненамагниченный сердечник, открытый или закрытый транзистор и др.

Число в двоичной системе, так же как в десятичной, изображается последовательностью цифр. Например, десятичное число 13 изображается как последовательность двух цифр 1 и 3, это же число в двоичной системе — последовательность четырех цифр—1101: 1310^11012.

Так же как в десятичной, в двоичной системе есть понятие разряда числа. Если в десятичной — это разряд единиц, десятков, сотен и т. д. (т. е. разряд 10*\ 10^ 10^ и т. д.), то в двоичной — это разряд 2°, 2^, 2^, 2^ и т. д. Двоичный разряд принято называть битом.

Например, число 1101 в двоичной системе можно представить как 1-2^+1-2^+0-2^+1-2^.

Алгоритм перевода числа из двоичной системы счисления в десятичную достаточно простой. Напомним, что для такого перевода необходимо вычислить сумму вкладов битов по правилам десятичной системы счисления. Примеры: 101 = 2+0+1==

= 5; 110 010 = 2^+2^+0+0+2+0= 50.

Для перевода десятичной записи числа в двоичную существует несколько различных способов. Рассмотрим, например, следующий алгоритм (все действия выполняются по правилам десятичной системы счисления):

1. Разделим число, подлежащее преобразованию, на 2, остаток от деления может быть 1 или О, значение остатка присваивается младшему (самому первому) значащему биту искомой двоичной записи.

2. Полученное частное вновь делим на 2, остаток от деления равен значению следующего по старшинству бита.

3. Повторим п. 2 до тех пор, пока частное не станет меньше двух, частное от последнего деления равно значению старшего бита, остаток — второму по старшинству биту.

Графически работу этого алгоритма изобразим так:

27:2-13+(1) 13:2=6+(l) 6:2°3+(0)

3:2=l+(l)

ч I

1 10

Рассмотрим, как выполняются арифметические действия в двоичной системе. Для этого проведем анализ таблиц сложения и умножения в двоичной системе:

0+0=0,     0-0=0, 0+1 =1,     0 • 1=0, 1+1=10,    1 -1= 1. Следует обратить внимание на аналогию в правилах выполнения арифметических действий в двоичной и десятичных системах счисления: если при сложении двух двоичных чисел (точнее, представленных в двоичной системе счисления) сумма цифр окажется больше единицы, то возникает перенос в старший разряд; если уменьшаемая цифра меньше вычитаемой, то нужно сделать “заем” единицы в старшем разряде: *    *   ***

1)^10 II 101

_101 II

10

3)111 101 1100

4)

^111 110 1110

11100

101010

* — перенос (заем).

Анализируя примеры умножения в двоичной системе счисления, необходимо обратить внимание на одну важную особенность выполнения этой операции в данной системе. Так как очередная цифра множителя может быть только 1 или 0, то промежуточное произведение равно либо множимому, либо 0. Таким образом, операция умножения в двоичной системе фактически не производится: в качестве промежуточного произведения записывается либо множимое, либо 0, а затем промежуточные произведения суммируются. Иначе говоря, операция умножения заменяется последовательным сложением.

Рассмотрим теперь, как можно проводить вычитание. Для этого в компьютерах используется так называемый дополнительный код, позволяющий и эту операцию свести к сложению чисел.

Дополнительное число — это число, дополняющее данное до значения следующего старшего разряда. Например, дополнительным числом к 67 будет 33, так как 33 дополняет 67 до 100, к числу 8210 дополнительным будет 1790 (1790 +8210= 10 000).

Правила выполнения вычитания с дополнительным числом следующие. Чтобы вычесть число А из числа В, достаточно сложить В с дополнительным числом к А и отбросить перенос в соседний старший разряд. Например, чтобы вычесть 623 из 842, достаточно сложить 842 с 377; отбросив перенос, получим 219 (842 - 623 = 219).

Такой прием часто используется в практике вычислений. Его преимущество заключается в том, что вычитание производится только из круглого числа (при образовании дополнения). Еще большие преимущества в этом случае предоставляет двоичная система счисления. Дело в том, что дополнительное число в этой системе образуется очень просто: все цифры числа заменяются на противоположные (О на 1, а 1 на 0), после чего к числу прибавляется единица.

Приведем пример образования дополнительного числа в двоичной системе счисления. Изменим все цифры числа а = 11011 на противоположные: 00100—и прибавим единицу:

,00100

00101, тогда Одоп = 101. 101

Теперь рассмотрим, как выполняется вычитание с помощью дополнительного числа. Предположим, надо найти разность чисел а = 11110, Ь = 10011. Образуем число, дополнительное к Ь:

,01100

1101, тогда Ьдод-1101. Сложим а и &доп и отбросим перенос:

11110 1101

101011, получим 1011.

Это и будет разность чисел а и Ь, т.е. вычитание заменяется действием сложения с помощью дополнительного числа.

Таким образом, важнейшее преимущество двоичной арифметики заключается в том, что она позволяет все арифметические действия свести к одному — сложению, а это значительно упрощает устройство процессора ЭВМ.