Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Топ:
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Интересное:
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Дисциплины:
2020-11-02 | 188 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Некоторые системы уравнений с помощью замены переменных можно свести к линейным. Рассмотрим несколько примеров.
Пример.
Решите систему уравнений .
Решение.
Так как , то система примет вид . Введем новые переменные . При такой замене исходная система уравнений сведется к системе линейных уравнений .
Вычислим определитель основной матрицы системы:
Так как он отличен от нуля и число неизвестных переменных равно числу уравнений системы, то эта система определена. Найдем ее решение методом Крамера:
Выполнив обратную замену, приходим к системе уравнений , откуда находим ее решения .
Пример.
Найдите все решения системы уравнений .
Решение.
Заменой переменных исходная система сводится к СЛАУ .
Вычислим определитель основной матрицы системы:
Он отличен от нуля. Найдем решение матричным методом.
Выполняем обратную замену .
Ответ:
Примеры задач, сводящихся к решению систем линейных алгебраических уравнений
Чтобы показать большую практическую значимость решения систем линейных алгебраических уравнений, разберем несколько задач из различных разделов математики, которые сводятся к решению СЛАУ.
Пример.
Составьте каноническое уравнение эллипсоида, проходящего через три точки .
Решение.
Каноническое уравнение эллипсоида в прямоугольной декартовой системе координат имеет вид . Наша задача состоит в определении параметров a, b и с. Так как эллипсоид проходит через точки А, В и С, то при подстановке их координат в каноническое уравнение эллипсоида оно должно обращаться в тождество. Так мы получим систему из трех уравнений:
Обозначим , тогда система станет системой линейных алгебраических уравнений .
|
Вычислим определитель основной матрицы системы:
Так как он отличен от нуля, то решение мы можем найти методом Крамера:
Проведем обратную замену
Следовательно, искомое каноническое уравнение эллипсоида имеет вид .
Ответ:
.
Пример.
Представьте дробно рациональное выражение в виде суммы простейших дробей.
Решение.
Очень подробно решение подобных примеров разобрано в разделе разложение дроби на простейшие.
Разложим многочлен, находящийся в знаменателе, на множители (при необходимости смотрите статью разложение многочлена на множители). Очевидно, что x = 0 и x = 1 являются корнями этого многочлена. Частным от деления на является . Таким образом, имеем разложение и исходное выражение примет вид .
Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов.
Приравняв соответствующие коэффициенты числителей, приходим к системе линейных алгебраических уравнений . Ее решение даст нам искомые неопределенные коэффициенты А, В, С и D.
Решим систему методом Гаусса:
При обратном ходе метода Гаусса находим D = 0, C = -2, B = 1, A = 1.
Получаем,
Ответ:
|
|
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!