Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Топ:
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Интересное:
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Дисциплины:
2019-10-30 | 169 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Рассмотрим однородное линейное уравнение порядка
(4.1)
Предположим, что его коэффициенты p и q голоморфны в некоторой точке , т.е. и представимы в окрестности этой точки степенными рядами по степеням , сходящимися в некоторой области .
Тогда, пользуясь теоремой Коши, можно построить фундаментальную систему решений, голоморфную в этой точке, т.е. состоящую из голоморфных решений - голоморфный базис линейного пространства решений. Обычно строят голоморфный базис (у1, у2), нормированный в точке , т.е. линейно независимые решения у1 и у2 с начальными условиями
Так что у1 и у2 представимы степенными рядами
сходящимися в некоторой окрестности точки , что позволяет согласно основной теореме теории линейных уравнений построить общее решение
В области
Таким образом, при сделанном предположении относительно голоморфности коэффициентов уравнения (4.1) всегда можем проинтегрировать последнее при помощи степенных рядов.
Рассмотрим два модельных примера.
Пример 6.
Проинтегрировать при помощи степенных рядов уравнение
Построим сначала голоморфный базис (у1, у2), нормированный в точке 0, которая (как и любая точка ) является точкой голоморфности коэффициента при у. Теорема Коши для случая линейного уравнения гарантирует существование и единственность этого базиса (как, впрочем, и любо другого); причем ряды, представляющие функции у1 и у2, заведомо сходятся при всех , представляя, таким образом, целые функции. Нам остается только построить у1 и у2.
Строим у1 в виде
Будем искать Сk методом последовательного дифференцирование, рассматривая их как коэффициенты Тейлора для функции у1
|
Дело сводится, таким образом, к нахождению .
Из тождества
(4.2)
Находим
Дифференцируя (4.2), имеем
Откуда
Далее, имеем
Легко видеть, что
Поэтому
Аналогично найдем
Как и следовало ожидать, ряды для у1, у2 сходятся при всех , а их сумы и - целые функции.
Легко непосредственной проверкой убедиться, что функция и образуют голоморфный в точке 0 базис, нормированный в этой точке.
Используя найденный голоморфный базис, получаем общее решение
В области
(4.3)
Пример 7. Построить фундаментальную систему решений уравнения
(4.4)
нормированную в точке 0 в виде степенных рядов.
Известно, что уравнение (4.4) имеет фундаментальную систему решений .
Оба эти решения голоморфны в точке 0. Но эта фундаментальная система не нормирована в точке 0.
Для построения нормированной в точке 0 фундаментальной систему у1, у2 можно воспользоваться общим решением
(4.5)
Получим .
Найдем эту фундаментальную систему непосредственно.
Имеем
Поэтому
Аналогично находим
Снова получили ту же самую фундаментальную систему, чего и следовало ожидать, в силу единственности фундаментальной системы решений, нормированный в данной точке.
Используя фундаментальную систему , можем записать обще решение уравнения (4.4) в виде
Это общее решение, так же как и общее решение (4.5), определено в области (4.3).
|
|
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!