Уравнение закона сохранения энергии

Рассмотрим объем газа между сечениями 0-0 и 1-1 в момент времени τ= 0(рис. 2.1). Условимся записывать работу и теплоту со знаком плюс в случае их подвода к газу и со знаком минус в случае отвода. Теплота трения всегда подводится к газу. По истечении бесконечно малого отрезка времени газ займет новое положение . При этом, в общем случае, будет подведено или отведено количество теплоты dQ, внешние и внутренние силы совершат работу dL, изменятся внутренняя энергия U и внешняя энергия Е. В связи с небольшой длиной межлопаточных каналов турбомашин пренебрегаем изменением внешней потенциальной энергии газа, тогда изменение внешней энергий будет равно изменению кинетической энергии рабочего тела.

По закону сохранения энергии сумма изменений внутренней и внешней энергий газа за время dτ должна быть равна сумме подведенного или отведенного количества теплоты и совершенной работы:

(dU + dE)d τ = dQd τ + dLd τ,               (2.9)

или для 1 кг рабочего тела:

(du + de)d τ = dqd τ + dld τ .                        (2.10)

Общие количество теплоты, входящее в эти уравнения складывается из внешнего тепла q _внеш, которое может быть со знаком плюс или минус, и внутреннего, эквивалентного работе сил трения , то есть .

Работа внешних и внутренних сил состоит из внешней работы l _внеш, отданной рабочим телом или подведенной к рабочему телу, работы сил трения l _тр работы гидродинамических сил в сечениях 0-0 и 1-1 (работы перемещения)        .

Следовательно, сумма работ всех сил составит

.                                     (2.11)

Подставив (2.11) в (2.10) и предполагая, что процесс течения идет без трения l _тр = 0, и учитывая, что изменение кинетической энергии рабочего тела равно , получил после сокращения на d_τ

.                  (2.12)

Выражение (2.12) получено для турбины, когда работа отводится от газа и l _внеш имеет знак минус. Оно справедливо для течения без трения и с трением, хотя формально работа трения в выражение не входит. Последнее объясняется тем, что при наличии трения энергия газа уменьшается на величину dl_тр и одновременно увеличивается на величину , эквивалентную работе сил трения, так как работа трения переходит в теплоту и практически полностью идет на подогрев рабочего тела.

Учитывая, что  и проинтегрировав в пределах от сечения 0-0 до сечения 1-1, получим

.                  (2.13)

Уравнения (2.12) и (2.13) можно применять для любого неподвижного канала (сопла, диффузора), для вращающейся решетки или колеса, для ступени турбомашин и для турбомашины в целом. При этом, параметры состояния и скорости газа во входном и выходном сечениях решетки, ступени или машины должны быть постоянными, или надлежащим образом осреднены.

В большинстве случаев процессы в турбомашинах можно рассматривать как протекающие без теплообмена с окружающей средой, то есть адиабатные; при этом d q _внеш =0.

Для неподвижного канала (dl _внеш = 0), ибо нет перемещения стенок канала. Тогда для изоэнтропийного (без трения) и адиабатного (с трением) процессов течения в неподвижных каналах из уравнения (2.13) получим, соответственно:

                        (2.14)

Каждое из двух этих уравнений описывает три принципиально отличных процесса течения рабочего тела в неподвижном канале:

1. Процесс идет с ускорением (разгоном) потока c _{1 t} > c ₀, i _{1 t} < i ₀ (для действительного процесса c ₁ > c ₀, i ₁ < i ₀). Газ расширяется в канале, его потенциальная энергия уменьшается, кинетическая - растет. Уравнение (2.14) показывает, что прирост кинетической энергии определяется уменьшением энтальпии рабочего тела.

2. Процесс идет с замедлением (торможением) рабочего тела c _{1 t} < c ₀, i _{1 t} > i ₀ (в действительном процессе c ₁ < c ₀, i ₁ > i ₀). Потенциальная энергия газа растет за счет его кинетической энергии, которая соответственно уменьшается. Такой процесс осуществляется в диффузоре.

3. Процесс дросселирования i _{1 t} = i ₀. При этом имеет место потеря работоспособности рабочего тела.