Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Топ:
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Интересное:
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Дисциплины:
2019-08-07 | 200 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Определение. Корнем – ой степени из комплексного числа называется комплексное число , такое, что .
Пусть ,
.
Тогда .
Отсюда ,
, где .
или , , где .
т.е. , где . (при прочих получим одно уже из выписанных значений корня).
Из полученной формулы ясно, что имеет различных значений, модули которых равны, а аргументы отличаются на углы, кратнее . Следовательно, соответствующие точки располагаются на окружности с центром в начале координат и радиусом (рис.14).
Пусть и целые положительные числа. Тогда
.
Теперь можно вычислить , если
,
,
.
Примеры:
1) Найти все значения
Решение: ,
, ;
, ;
, ;
, ;
, .
Все значения лежат на окружности радиуса на одинаковом угловом расстоянии друг от друга (рис. 15).
2) Найти все значения .
Решение: ,
, ;
, ;
;
, ;
, ;
, .
(рис. 16)
Показательная форма записи комплексного числа
Наряду с уже введенными алгебраической и тригонометрической формами записи комплексного числа используется еще и, так называемая, показательная форма записи, которая получается из тригонометрической формы.
.
Заменой выражения с помощью формулы Эйлера
,
которую примем без доказательства. Тогда комплексное число можно представить в виде , где – модуль комплексного числа , – его аргумент.
Такая форма записи комплексного числа называется показательной формой записи.
Зная, как производятся действия над комплексными числами, записанными в тригонометрической форме, легко показать, что
,
,
,
, .
Пример. Найти все значения и записать результат в тригонометрической и показательной формах.
|
Решение: Запишем в тригонометрической форме, для чего определим его модуль и аргумент
,
Итак,
Найдем теперь
, .
В нашем случае
, .
Поэтому , ;
, ;
, ;
Приведя аргумент к главному значению, получим
(рис. 17)
Задачи для самостоятельного решения
Задача № 11. Следующие комплексные числа представить в тригонометрической и показательной формах
а) б) в) ,
г) , д) , е) .
Задача № 12. Вычислить
а) , б) .
Задача № 13. Найти все значения корня
а) , б) , в) , д) .
Результат записать в алгебраической, тригонометрической и показательной формах.
В задачах №14-15 найти множество точек на плоскости комплексного переменного , которые определяются заданными условиями.
Задача № 14. .
Задача № 15. ( – действительное, ).
В задачах № 16-19 указать какие линии определяются указанными уравнениями.
Задача № 16. .
Задача № 17. .
Задача № 18. .
Задача № 19. .
Нарисовать эти линии.
Ответы к задачам, предложенным для самостоятельного решения.
№ 1. Действительного решения нет.
№ 3. , .
№ 6. Внутренность гиперболы .
№ 7. Внутренность окружности .
№ 8. Область, заключенная между окружностями
и .
№ 9. Гипербола .
№ 10. Окружность .
№ 12. а) ; б) .
№ 13.
а) ;
б) ;
в) , ;
г) .
№ 14. Часть плоскости, расположенная ниже прямой .
№ 15. Внутренность единичной окружности.
№ 16. Эллипс .
№ 17. Луч на оси от до .
№ 18 Гипербола
№ 19 Эллипс
|
|
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!