Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Топ:
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Интересное:
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Дисциплины:
2017-05-16 | 464 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Переходим к рассмотрению типового задания.
Пример: Найти область сходимости степенного ряда
Решение: Задание часто формулируют эквивалентно: Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала.
1) На первом этапе находим радиус сходимости ряда по формуле:
2) Записываем интервал сходимости ряда :
.
3) Проверяем сходимость ряда на концах интервала:
а) Рассматриваем правый конец интервала , подставляем это значение в наш степенной ряд :
При – сходится (случай обобщенного гармонического ряда).
б) Берём левый конец интервала и подставляем его в наш степенной ряд :
При
Получен числовой знакочередующийся ряд, и нам нужно исследовать его на сходимость.
Используем признак Лейбница:
1) Члены ряда убывают по модулю: каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий, значит, убывание монотонно – первое условие выполняется.
2) – второе условие выполняется.
Вывод: ряд сходится.
Исследуем ряд на абсолютную сходимость:
– сходится (случай обобщенного гармонического ряда).
Таким образом, полученный числовой ряд сходится абсолютно.
Таким образом, степенной ряд сходится на обоих концах найденного интервала.
Ответ: Область сходимости исследуемого степенного ряда:
Имеет право на жизнь и другое оформление ответа: Ряд сходится, если
!!! Иногда в условии задачи требуют указать радиус сходимости. Очевидно, что в рассмотренном примере .
Пример: Найти область сходимости ряда .
Решение: Найдем радиус сходимости данного ряда.
Итак, ряд сходится при
Раскрываем модуль:
И прибавляем ко всем частям единицу:
– интервал сходимости исследуемого степенного ряда.
|
Исследуем сходимость степенного ряда на концах найденного интервала:
1) Если x=-8, то получается следующий числовой ряд:
Получен числовой знакочередующийся ряд, и нам нужно исследовать его на сходимость.
Используем признак Лейбница:
1) Члены ряда убывают по модулю: каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий, значит, убывание монотонно – первое условие выполняется.
2) – второе условие выполняется.
Вывод: ряд сходится.
Исследуем ряд на абсолютную сходимость.
Составим ряд из абсолютных членов:
.
По всем признакам для полученного числового ряда следует применить предельный признак сравнения.
Определяем старшую степень знаменателя, для этого мысленно или на черновике отбрасываем под корнем всё, кроме самого старшего слагаемого: . Таким образом, старшая степень знаменателя равна . Старшая степень числителя, очевидно, равна 1. Из старшей степени знаменателя вычитаем старшую степень числителя: .
Таким образом, наш ряд нужно сравнить со сходящимся рядом .
Используем предельный признак сравнения:
Получено конечное, отличное от нуля число, значит, ряд сходится вместе с рядом .
Таким образом, полученный числовой ряд сходится абсолютно.
2) Что происходит на другом конце интервала?
При x=10. Получаем ряд
– сходится (Получился точно такой же числовой ряд, сходимость которого мы только что доказали).
Ответ: область сходимости исследуемого степенного ряда:
или
|
|
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!