Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Топ:
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Интересное:
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Дисциплины:
2017-05-14 | 363 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Введение.
Разработано несколько разных методов для исследования разрешимости нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Например, всем известный классический метод характеристик, метод Галеркина, метод потоков. Как и любой метод, каждый из них имеет свои преимущества и свои недостатки. Нельзя выделить какой-либо метод, позволяющий решать любые дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка. Каждый из известных методов хорошо применим только к определенному классу уравнений. Если, например, обратиться к тому же самому методу характеристик, то оказывается, что он с успехом применяется лишь в случае, когда коэффициенты перед производными не содержат неизвестных функций. А для систем квазилинейных дифференциальных уравнений или решения нелинейных дифференциальных уравнений реально его применять довольно сложно. В первую очередь, это связано с тем, что при применении метода характеристик для таких уравнений в соответствующем интегральном уравнении появляется суперпозиция неизвестных функций. В последнее время широкое развитие получил, в частности, метод дополнительного аргумента. Он позволяет свести решение исходной задачи к интегральному уравнению или системе интегральных уравнений. В этом уравнении неизвестная функция зависит от трех независимых переменных, но сами уравнения достаточно простые по своей структуре. Для них достаточно просто доказать существование дифференцируемого решения, исследовать качественные свойства решения, а также построить численное решение. В частности, для этого можно использовать метод последовательных приближений. Сущность метода дополнительного аргумента, его применение к решению нелинейных дифференциальных уравнений рассматриваются далее.
|
Заключение.
Таким образом, метод дополнительного аргумента может быть эффективно использован для приближённого решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных.
В работе исходное дифференциальное уравнение преобразовано в систему из двух квазилинейных уравнений. А посредством метода дополнительного аргумента эта система сведена к системе интегральных уравнений, достаточно простых по структуре. Затем эта система решается с помощью численных методов с последующей реализацией на ПК. Получены трёхмерные графики функции
Доказательство существования решения задачи Коши (1) – (2) позволяет применять метод аргумента для решения уравнения (1) с различными функциями , что иллюстрируется примерами.
Литература
1. Алексеенко, С. Н., Эгембердиев Ш. А. Применение метода дополнительного аргумента к одномерному аналогу задачи протекания // Материалы IV научной конференции КРСУ, Бишкек, май 1997г. – Бишкек: КРСУ, 1997.-С.26.
2. Алексеенко, С. Н., Эгембердиев Ш. А. Применение метода дополнительного аргумента к системе нелинейных уравнений типа полной производной по времени // Исслед. по интегродифференциальным уравнениям. – Бишкек: Илим, 1997. – Вып.26. - С. 161-169.
3. Алексеенко, С. Н., Эгембердиев Ш. А. Применение метода дополнительного аргумента к одномерному варианту задачи протекания с краевыми условиями третьего типа для скорости // Исслед. по интегродифференциальным уравнениям. – Бишкек: Илим, 1998. – Вып.27. - С. 225-243.
4. Алексеенко, С. Н., Эгембердиев Ш. А. Решение системы уравнений в частных производных первого порядка с начально-краевыми условиями методом дополнительного аргумента // Традиции и новации в культуре университетского образования (КТУ): Сб. трудов международ. науч. конференц. – Бишкек: Технология, 1998. – С.106-112.
5. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. IV, Физматгиз. 1958.
|
6. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Изд. «Наука». М. 1970. 280 с.
Оглавление
Введение. 1
Постановка начальной задачи. 2
Применение метода дополнительного аргумента к решению характеристической системы. 3
Доказательство эквивалентности систем (8) и (26). 6
Доказательство существования решения задачи Коши .............. 12
Постановка задачи численного расчёта. 30
Дискретизация исходной задачи и её решение итерациями. 34
Программа и её описание. Результаты вычислений. 36
Заключение. 51
Литература. 52
Введение.
Разработано несколько разных методов для исследования разрешимости нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Например, всем известный классический метод характеристик, метод Галеркина, метод потоков. Как и любой метод, каждый из них имеет свои преимущества и свои недостатки. Нельзя выделить какой-либо метод, позволяющий решать любые дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка. Каждый из известных методов хорошо применим только к определенному классу уравнений. Если, например, обратиться к тому же самому методу характеристик, то оказывается, что он с успехом применяется лишь в случае, когда коэффициенты перед производными не содержат неизвестных функций. А для систем квазилинейных дифференциальных уравнений или решения нелинейных дифференциальных уравнений реально его применять довольно сложно. В первую очередь, это связано с тем, что при применении метода характеристик для таких уравнений в соответствующем интегральном уравнении появляется суперпозиция неизвестных функций. В последнее время широкое развитие получил, в частности, метод дополнительного аргумента. Он позволяет свести решение исходной задачи к интегральному уравнению или системе интегральных уравнений. В этом уравнении неизвестная функция зависит от трех независимых переменных, но сами уравнения достаточно простые по своей структуре. Для них достаточно просто доказать существование дифференцируемого решения, исследовать качественные свойства решения, а также построить численное решение. В частности, для этого можно использовать метод последовательных приближений. Сущность метода дополнительного аргумента, его применение к решению нелинейных дифференциальных уравнений рассматриваются далее.
|
Постановка начальной задачи.
В области и рассмотрим нелинейное дифференциальное уравнение:
И пусть задано следующее начальное условие
Продифференцируем данное уравнение по х:
Обозначим Тогда уравнение (3) перепишется в виде:
Исходное уравнение (1) в наших новых обозначениях перепишется так:
Преобразуем его так:
Запишем характеристическую систему для уравнения (1) относительно неизвестных функций :
Таким образом, нелинейное уравнение (1) м свели к системе из двух квазилинейных уравнений (8). С учётом (2) зададим начальное условие для функции :
Покажем, что функция , определяемая системой уравнений (8) и начальными условиями (2) и (9), будет являться искомым решением уравнения (1) с начальным условием (2). Для этого достаточно показать, что
Продифференцируем первое уравнение системы по x:
(10)
Вычтем из получившегося равенства второе уравнение системы:
(11)
Обозначим через , тогда из равенство (11) перепишется в виде:
или:
При всех и функция ограничена. Кроме того,
.
Значит, можно определить константу , что при . А это и означает, что
, а значит функция , определяемая системой уравнений (8) и начальными условиями (2) и (9), будет являться искомым решением уравнения (1) с начальным условием (2), что и требовалось доказать.
|
|
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!