Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Топ:
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Интересное:
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Дисциплины:
2019-07-12 | 393 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Собственные числа и собственные векторы матрицы
Предположим, что среди бесконечного множества одномерных пространств R1 найдутся такие, которые будут инвариантны относительно преобразования y=Ax, то есть для любого xÎR1. Обозначим через l отношение y к x, которое при этом будет просто вещественным числом, то есть можно записать y=lx. Таким образом, если R1 – инвариантное подпространство, то для xÎR1 имеет место равенство
Ax=lx.
Вектор x¹0, удовлетворяющий этому соотношению, называют собственным вектором матрицы A, а число l – собственным значением матрицы A.
Для определения характеристических чисел матрицы перепишем это соотношение в ином виде, введя тождественное преобразование x=Ix. При этом получаем
(A–lI)x=0
Это соотношение представляет собой систему линейных однородных уравнений. Чтобы эта система имела нетрививльное решение, необходимо и достаточно, чтобы det (A–lI)=0. При этом сами переменные, то есть вектор x, определяются с точностью до постоянного множителя. Соотношение det (A–lI)=0 называют характеристическим уравнением матрицы A, представляющим собой алгебраическое уравнение n-й степени относительно l. Это уравнение имеет n корней, среди которых могут быть и одинаковые, являющиеся собственными значениями матрицы A.
Подставив любое собственное значение li в исходную систему уравнений, получим уравнение
(A–liI)x=0,
которое имеет нетривиальное решение. Это решение дает вектор xi, определяемый с точностью до скалярного множителя. Этот вектор и называется характеристическим вектором матрицы A.
Диагонализация матриц.
Для матрицы A, имеющей n различных характеристических чисел, преобразование вида M-1AM приводит к диагональной матрице D, где M называется модальной матрицей. Матрица M составлена из характеристических векторов матрицы A.
|
Однако матрица общего вида размерности (n´n) с кратными характеристическими числами может содержать меньше, чем n линейно независимых характеристических векторов; поэтому приведение к диагональной форме посредством преобразования может оказаться невозможным. Однако можно показать, что произвольная квадратная матрица путем преобразования подобия приводится к канонической матрице Жордана, обладающей следующими свойствами:
1. Диагональные элементы этой матрицы являются характеристическими числами A.
2. Все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю.
3. Если соседние элементы на главной диагонали одинаковы, то элементы, непосредственно находящиеся справа от главной диагонали, равны единицы. Типичная жорданова форма имеет вид:
Заметим, что единицы встречаются в блоках вида
Они называются клетками Жордана.
Количество клеток Жордана, связанных с данным характеристическим числом li, в соответствии с преобразованием подобия, приводящим к жардановой форме, равное количеству собственных векторов, связанных с характеристическим числом, то есть q-дефекту [liI–A]. Однако, определить порядки клеток Жордана нелегко. Поэтому неясно, получается ли в результате преобразования J=M-1AM приведенная выше жорданова форма или форма
Полезно знать, что в случае полной вырожденности не будет присутствовать ни одной единицы. В случае простой вырожденности (q=1) все элементы, непосредственно лежащие справа от главной диагонали, равны единице. Для случаев, не укладывающихся в упомянутые, необходимо использовать для определения J и M метод проб и ошибок, основанный на равенстве
AM=MJ.
Пусть столбцы M обозначаются x1, x2, …, xn. Тогда существует клетка Жордана порядка m, связанная с lI лишь в том случае, если m линейно-независимых векторов x1, x2, …, xm удовлетворяют уравнениям:
|
Эти выражения применимы для каждой клетки Жордана.
Функции от матриц
Степени матриц
Произведение матриц AAA…A, где A – квадратная матрица порядка n, можно записать в виде Ak, где k означает число сомножителей, входящих в произведение. Это произведение называется k-й степенью матрицы A. Оно обладает свойствами
Те же правила справедливы при возведении матрицы в отрицательную степень при условии, что матрица неособенная, то есть существует обратная матрица. Имеем
Подобные правила применяются и в случае вычисления дробной степени матрицы. Так, если Am=B, то A является корнем m-й степени B. Не существует общего правила определения, каким количеством корней степени m обладает матрица B, – число корней зависит от вида матрицы.
Функции от матриц
Матричный многочлен – это выражение вида
Разложение на множители этого многочлена, или факторизация матричного многчлена, имеет вид
Бесконечный ряд матриц:
Геометрический ряд:
Экспоненциальная функция
Можно показать, что этот ряд сходится равномерно и абсолютно. Произведение матричных экспонент:
eAeB=eA+B
Синусоидальная функция:
Косинусоидальная функция:
, где комплексная экспонента определяется как
Гиперболический синус
Гиперболический косинус
|
|
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!