Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Топ:
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Интересное:
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Дисциплины:
2019-05-27 | 158 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
1. Найти область определения функции.
2. Выяснить является ли функция четной (нечетной), периодической.
3. Найти (если это возможно) точки пересечения графика функции с осями координат.
4. Найти производную и критические точки.
5. Определить промежутки возрастания и убывания функции, а также точки экстремума.
6. Установить характер поведения функции на концах промежутков области определения.
7. Определить участки выпуклости и вогнутости функции.
8. Найти асимптоты функции, если они имеются.
9. На основании проведенного исследования нарисовать график функции.
Очевидно, что приведенные в разделе I теоремы являются основным инструментом для проведения исследования функции. Действительно.
Первые два пункта проверяются по определению.
Чтобы найти точки пересечения заданной функции с осями координат необходимо найти значения функции при х=0 (пересечение с осью 0 Y) изатем решить уравнение (если это возможно). Это определит точки пересечения оси 0Х.
В соответствии с теоремой Ферма поиск экстремальных точек связан с поиском производной функции и решением уравнения . Кроме того, наибольшие и наименьшие значения могут достигаться в точках, где производная не существует.
Промежутки возрастания и убывания определяются по знаку производной (второе следствие из теоремы Лагранжа).
Характер поведения функции в краевых точках устанавливается вычислением соответствующих пределов.
В соответствии с определением выпуклых вниз и вверх функций и формулой Тейлора участки выпуклости и вогнутости определяются знаком второй производной заданной функции, а точки, в которых происходит изменение направления выпуклости, называются точками перегиба и в этих точках вторая производная равна 0 или не существует. Действительно, если функция дважды дифференцируема, то в окрестности этой точки можно записать формулу Тейлора в виде
|
Перепишем это выражение в так
В левой части этого равенства стоит разность значения функции и ординаты точки, лежащей на касательной в точке . Очевидно, что знак этой разности определяется знаком второй производной. Там, где функция выпукла вниз (график находится над касательной) и если , то функция выпукла вверх (график находится под касательной). Переходя в последней формуле к пределу при и предполагая существование второй производной в точке , нетрудно установить, что в точке перегиба (или вторая производная не существует).
Асимптота, по определению, это прямая, к которой приближаются значения функции при , то есть или . Из последнего равенства находим и .
Собрав всю полученную информацию о заданной функции, строится ее график.
Рассмотрим конкретные примеры.
1. Построить график функции
1.1. Область определения D=R.
1.2. . Функция четная, а значит, график симметричен относительно оси 0Y. Не периодическая.
1.3. решаем это уравнение, то есть Это уравнение не имеет решение. Таким образом, ось 0Y пересекается в точке (0,3), ось абсцисс не пересекается графиком заданной функции.
1.4. Производная равна 0 при х=0. При Следовательно функция убывает при
1.5. При Значит функция возрастает и точка (0,3) является точкой максимума.
1.6. Найдем
1.7. Решаем уравнение вида , тогда получаем или . Точка (1, f (1)) является точкой перегиба. Очевидно, при х<1 и функция выпукла вверх, а при х>1 - выпукла вниз.
1.8. Находим асимптоты
. Таким образом, имеется асимптота y =0. Теперь легко можно нарисовать график функции:
|
|
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!