Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Топ:
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Интересное:
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Дисциплины:
2018-01-30 | 212 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Понятие определенного интеграла и его свойства
Пусть на отрезке задана функция y=f(x). Разобьем отрезок на n элементарных отрезков точками . На каждом отрезке разбиения выберем некоторую точку и положим , где . Сумму вида
будем называть интегральной суммой для функции y=f(x) на . Очевидно, что интегральная сумма зависит как от способа разбиения отрезка точками , так и от выбора точек на каждом из отрезков разбиения , .
Если существует предел , не зависящий от способа разбиения отрезка и выбора точек , то этот предел будем называть определённым интегралом функции f(x) на отрезке и обозначать символом т.е.
Функция f(x) в этом случае называется интегрируемой на отрезке . При этом f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением, а числа a и b – пределами интегрирования (a – нижний предел, b – верхний предел), а сумма – интегральной суммой.
Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.
Свойства определённого интеграла
1.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла:
3. Определённый интеграл от суммы двух функций равен сумме определённых интегралов от этих функций:
4. При перестановке пределов интегрирования определённый интеграл меняет знак на противоположный:
5. Интеграл по отрезку равен сумме интегралов по его частям:
где a<c<b.
Формула Ньютона-Лейбница
Если функция f(x) непрерывна на отрезке и F(x) – первообразная функции f(x) на этом отрезке, то:
Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница.
При вычислении интегралов ее часто записывают в виде
Пример.
=
Геометрические приложения определённого интеграла
|
Вычисления площадей плоских фигур
Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке . Если при этом f(x) на этом отрезке, то площадь S криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=f(x), y=0, x=a, x=b, выразится с помощью интеграла:
Замечания.
1. Если же на , то – f(х) на этом отрезке. Поэтому площадь S соответствующей криволинейной трапеции находится по формуле:
или
Наконец, если линия y=f(x) пересекает ось Ох, то отрезок надо разбить на части, в пределах которых f(x) не меняет знака, и к каждой части применить ту из формул, которая ей соответствует.
2. Площадь криволинейной фигуры, ограниченной сверху графиком функции y2=f2(x), снизу – графиком функции y1=f1(x), слева и справа прямыми x=a, x=b, вычисляется по формуле:
3. Площадь криволинейной фигуры, ограниченной справа графиком функции x2=j2(y), слева – графиком функции x1=j1(y), снизу и сверху прямыми y=c, y=d, вычисляется по формуле:
Пример. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной графиком функции y = sin x и осью абсцисс при условии .
Решение:
Разобьём отрезок на два отрезка: и . На первом из них sin x , на втором sin x . Тогда, используя формулы, находим искомую площадь:
Примеры решения типовых задач
№1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и .
Решение:
1. Найдем пределы интегрирования, в качестве и возьмем абсциссы точек пересечения данных линий.
Для их нахождения решим систему уравнений:
;
;
,
2. Определим, какой график расположен выше. Для этого построим заданные линии. Графиком функции является парабола. Найдем координаты вершины параболы:
, .
Найдем точку пересечения параболы с осями координат:
, , и .
, .
Получили две точки пересечения с осью : и .
Графиком функции является прямая линия, для построения которой достаточно взять две точки.
Из рисунка видно, что график функции находится выше графика функции , следовательно, выполняется условие .
Применяя формулу (2), найдем площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:
|
(кв.ед.)
№2. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой , прямыми , и осью Оу.
Решение: , , . Тогда .
|
|
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!