Вычисление положения приемника

Время

к

Время распространения сигнала от спутника до приемника обозначается через τ ⁱ. Обозначим через с скорость

света в вакууме, тогда псевдодальность можно записать в виде

i i i

t - tk = t k = Pk / c

(8.9)

Пусть каждый период во времени GPS называется t^GPS. Часы на спутнике k и часы на приемнике i

синхронизированы точно с GPS временем. Таким образом, мы определяем сдвиг тактовой частоты как:

i i

t = tGPS + dt

(8.10)

i i

tk = (t

- t k) GPS + dtk

(8.11)

В последнем уравнении мы подставляем соотношение dt^k=α₀+α₁(t^k‐t_oe)+…, как дано в эфемериде:

(t - t k) gps = t k - (a + a (tk - t

) +...)

(8.12)

i i 0 1 oe

Оставшееся слагаемое используется при вычислении положения спутника. Преобразуя уравнение (8.9) получим:

tk = t

- Pk / c

(8.13)

i i

Один из путей использования этого уравнения состоит в том, что бы рассматривать это уравнение, как данное. Это опорное время определено в терминах часов приемника. Псевдодальность P_i^k также известна как наблюдаемая величина. Таким образом, t^k может быть вычислена, и после коррекции, связанной со смещением тактовой частоты dt^k, можно получить время перехода во временной системе GPS. Эта процедура используется в реальных приемниках.

Для приемников‐программ ситуация несколько иная. Время t_common, обычное для всех наблюдений псевдодальности, определяется как время перехода на спутнике. Таким образом, вычисление положения спутника k осуществляется следующим образом:

t = t - dt

k k

common

(8.14)

 

Единственное используемое время приемника – относительное время приема сигнала каждого спутника. Оно составляет индивидуальную псевдодальность.

Последовательность этого определения времени состоит в том, что вычисленные координаты спутника немедленно соотносятся с геоцентрической системой координат, и поэтому координаты спутника не нужно вращать вокруг оси Z на угол, равный времени распространения, умноженному на скорость вращения Земли.

 

Линеаризация уравнения определения координат

Наиболее часто используемый алгоритм для вычисления положения по псевдодальностям базируется на методе наименьших квадратов. Этот метод используется, когда число уравнений больше числа неизвестных. В этом разделе описано, как метод наименьших квадратов используется для определения положения приемника по псевдодальности 4 или более спутников.

Обозначим расстояние между приемником и спутником k ρ^k, через c обозначим скорость света, dt –

i

i

смещение тактовой частоты приемника, dt^k смещение тактовой частоты спутника, T^k

i

i

– тропосферное затухание, I^k

i

– ионосферное ослабление и e^k

ошибка определения псевдодальности. Тогда базовое уравнение для

i

псевдодальности P^k

будет иметь вид:

Pk = r k + c (dt

- dtk) + T k + I k + ek

(8.15)

i i i i i i

i

Геометрическое расстояние ρ^k между спутником и приемником вычисляется по формуле:

i

r k =

Подставляя (8.15) в (8.16) получим:

i

Pk =

 

 

+ c (dt

(8.16)

 

 

-

i i i i

dtk) + T k + I k + ek

 

(8.17)

Из эфемерид, которые включают информацию о смещении тактовой частоты спутника dt^k, можно определить положение спутника (X^k,Y^k,Z^k). (Это делает М‐файл satpos).

Тропосферное затухание вычисляется из априорной модели, которая закодирована как tropo;

i

ионосферное затухание I^k

может быть оценено по другой модели, коэффициенты для которой являются частью

i

широкодоступных эфемерид. Уравнения содержат 4 неизвестных Xⁱ,Yⁱ,Zⁱ и dtⁱ, ошибка e ^k минимизируется с помощью метода наименьших квадратов. Для вычисления положения приемника (Xⁱ,Yⁱ,Zⁱ) необходимы псевдодальности как минимум 4‐х спутников.

Уравнение (8.17) является нелинейным по отношению к переменным Xⁱ,Yⁱ,Zⁱ, поэтому оно должно быть линеаризовано перед использованием метода наименьших квадратов.

Проанализируем нелинейное слагаемое в (8.17)

f (Xi, Yi, Zi) =

(8.18)

Линеаризация начинается с поиска начального положения приемника (X_i0,Y_i0,Z_i0). Оно часто выбирается в центре Земли (0,0,0).

 

Инкременты ΔX, ΔY и ΔZ определяются как

Xi,1 = Xi,0 +D Xi

Yi,1 = Yi,0 +D Yi

Zi,1 = Zi,0 +D Zi

 

(8.19)

Они улучшают приближенные значения координат приемника. Разложение в ряд Тейлора функции ƒ(X_i,0+ΔX_i, Y _i,0+

ΔY_i, Z_i,0+ ΔZ_i) имеет вид

f (X

 

i,1

, Yi,1

, Zi,1) =

f (X

 

i,0

, Yi,0

, Zi,0

) +¶ f (Xi,0, Yi,0, Zi,0) D X

i

¶ Xi,0

+ ¶ f (X

 

i,0

, Yi,0

, Zi,0)

 

D Y +

¶(X

 

i,0

, Yi,0

, Zi,0) D Z

(8.20)

¶ Yi,0

i ¶ Z

i

i,0

Уравнение (8.20) включает только слагаемые первого порядка; эта функция определяет приближенное положение. Частные производные в уравнении (8.20) имеют вид:

¶ f (X

 

i,0

, Yi,0

, Zi,0)

X k - X

r

=-

 

i,0

k

¶ Xi,0 i

¶ f (X

, Y, Z)

Y k - Y

i,0

¶ Y

i,0

i,0 =-

i,0

rk

¶ f (X

 

i,0

i,0

, Yi,0

, Zi,0)

i

Z k - Z

r

=-

 

 

i,0

k

¶ Zi,0 i

i0

Пусть ρ^k обозначает расстояние, вычисленное по приближенному положению приемника; линеаризованные уравнения первого порядка для наблюдаемых переходят в:

X k - X Y k - Y Z k - Z

r

r

Pk = r k

- i ,0 D X

- i ,0 D Y - i ,0 D Z

+ c (dt

- dtk) + T k + I k + ek

(8.21)

r

i i,0

k

i,0

i k ii,0

k i,0

i i i i i

где мы точно имеем

r

=

k

i,0

(8.22)

 

Использование метода наименьших квадратов

Задача наименьших квадратов представляется в виде линейной системы A x = b, которая не имеет решения. А имеет m радов и n столбцов, при этом m>n; т.е. входных данных b₁, b₂,…b_n больше чем свободных параметров x₁,…x_n. Наилучший набор свободных параметров, который мы назовем x ˆ, должен давать наименьшую длину

вектора ошибок

e ˆ = b - Ax ˆ. Если эта длина измеряется обычным образом, то

e 2 = (b - Ax) T (b - Ax)

является суммой квадратов m отдельных ошибок, минимизация этой квадратичной формы даст нормальные уравнения

 

 

и вектор ошибок

ATAx ˆ = ATb

 

или

x ˆ = (AT A)-1 ATb

 

(8.23)

e ˆ = b - Ax ˆ

Матрица ковариации для параметров x ˆ есть

2 T -1

 

2 e ˆ Te ˆ

(8.24)

å x ˆ= s ˆ0(A A) с

s ˆ0= m - n

(8.25)

Линеаризованное уравнение (8.21) может быть переписано в векторном виде

éD Xi ù

é X k - X Y k - Y Z k - Z ùêD Y ú

Pk = r k

+ê- i ,0 - i ,0 - i ,0 1úê

i ú- cdtk + T k + I k + ek

(8.26)

r

r

r

û

i i,0 êë

k

i,0

k i,0

k

i,0

úêD Zi ú

ê ú

i i i

ë cdti û

Перегруппируем слагаемые для того, чтобы привести его к обычной форме для задачи наименьших квадратов

A x = b:

 

é X k - X Y k - Y Z k - Z

éD Xi ù

ùêD Y ú

r

r

r

ê- i ,0 - i ,0 - i ,0 1úê

 

i ú= Pk - r k

+ cdtk - T k - I k - ek

(8.27)

û

ëê i,0

k

i,0

k

i,0

úêD Zi ú

ê ú

i i,0

i i i

ë cdti û

i i i

Единственное решение не может быть найдено из одного уравнения. Пусть

b = P - r

k k k

i i i,0

+ cdtk - T k - I k - ek. Тогда конечное решение можно определить из уравнения:

é X 1 - X Y 1 - Y Z 1- Z ù

ê

ú

- i ,0

r 1

- i ,0

r 1

- i ,0 1

r 1

ê i,0

i,0

i,0 ú

ê

i

ú

ê X 2 - X Y 2 - Y Z 2 - Z ú

r

r

r

ê

ê- i ,0

- i ,0

- i ,0

1úéD X ù

ê i,0

i,0

i,0

ú

ú D Y

Ax = ê

X 3 - X Y 3 - Y Z 3 - Z

úê i ú= b - e

(8.28)

- i ,0 - i ,0 - i ,0

1 êD Zi ú

r

r

r

ê 3

ê i,0

i,0

i,0

úê ú

úë cdti û

ê M M M Mú

ê X m - X Y m - Y Z m - Z ú

ê- i ,0 - i ,0 - i ,0 1ú

r

r

r

ê k

ë i,0

m i,0

m ú

i,0 û

Если m>4 единственное решение (ΔX_i1,ΔY_i1,ΔZi₁) существует. Оно должно быть прибавлено к предыдущему приближенному решению.

Xi,1 = Xi,0 +D X i,1

Yi,1 = Yi,0 +D Yi,1

Zi,1 = Zi,0 +D Zi,1

 

 

(8.29)

Таблица 8.6. Типичные стандартные отклонения для измерений псевдодальности

 

Источник ошибки	σ[м]
Часы и орбита спутника	1‐2
Атмосферные модели
Многолучевое распространение и шум приемника

 

Следующая итерация начинается с уравнения (8.26) и идет до (8.29) с _i,0 замененным на i,1. Такие итерации продолжаются до тех пор, пока не будут получены поправки на уровне метра. Обычно для достижения этой цели достаточно 2 или 3 итерации; см. Станж и Борре (Strang&Borre) (1997).

Если псевдодальности и эфемериды сохраняются для дальнейшей обработки, то для этого обычно используют формат RINEX. Описание этого формата может быть найдено на сайте http://www.ngs.noaa.gov/CORS/instructions2/.

Для вычисления положения приемника по данным из файла формата RINEX можно использовать следующие М‐файлы: easy3, get_eph, anheader, fepoch_0, fobs_typ, recpo_ls, find_eph, check_t, satpos, e_r_corr, topocent, tropo и frgeod.

 

Точность определения положения в реальном времени

На определение псевдодальности обычно влияют несколько источников ошибки: широкодоступные орбиты и часы спутника не являются точными, моделирование прохождения сигнала через атмосферу не всегда корректно, шум в приемнике и, наконец, многолучевое распространение. Трудно дать точные оценки вкладов различных ошибок; однако, Таблица 8.6 указывает типичное стандартное отклонение для названных типов ошибок.