Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Топ:
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Интересное:
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Дисциплины:
2017-12-21 | 235 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Сформулируем общие свойства функции распределения:
1. - неубывающая, т.е. при , ;
2. ;
3. .
Проиллюстрируем эти свойства с помощью геометрической интерпретации. Будем рассматривать случайную величину как случайную точку на оси ОХ.
Тогда есть вероятность того, что случайная точка в результате опыта попадет левее точки .
Очевидно, при этом вероятность того, что попадет левее , не может уменьшаться; следовательно, с возрастанием убывать не может.
Неограниченно перемещаем точку влево по оси абсцисс. При этом попадание случайной точки левее в пределе становится невозможным событием: естественно полагать, что вероятность этого события ® 0, т.е. .
Аналогично перемещая точку вправо, убеждаемся, что , т. к. событие становится в пределе достоверным.
То, что – монотонно неубывающая функция на всей числовой прямой, можно показать следующим образом: пусть . Рассмотрим событие = и = . Æ, . Применим теорему сложения для несовместных событий и :
или , т.е. , т.к. .
Из полученного только что равенства имеем:
.
Отсюда следует, что какой бы ни был задан полуинтервал , зная , мы можем рассчитывать вероятность, с которой случайная величина принимает значение . Если вероятность оказалась, например, равной нулю, то это значит, что на данном промежутке нет возможных значений .
Построим график функции распределения – это график неубывающей функции, значения которой начинаются от 0 и доходят до 1, причем в отдельных точках функция может иметь разрывы.
F(X)
1
0 X
Зная ряд распределения случайной величины легко построить функцию распределения этой величины. Действительно,
,
где неравенство под знаком суммы указывает, что суммирование распространяется на все те значения , которые меньше .
|
Пример. Производится четыре независимых опыта, в каждом из которых может появиться или не появиться событие . Построить функцию распределения числа появлений события .
Решение. Обозначим через - число появлений события в четырех опытах. Эта величина имеет ряд распределения
0.2401 | 0.4116 | 0.2646 | 0.0756 | 0.0081 |
Построим функцию распределения случайной величины
1. при 0 =0
2. при 0< 1 =0,2401
3. при 1< 2 =0,6517
4. при 2< 3 =0,9163
5. при 3< 4 =0,991
6. при 4> =1
0 1 2 3 4
Функция распределения любой дискретной величины есть разрывная ступенчатая функция, разрывы которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины.
По мере увеличения числа возможных значений случайной величины и уменьшения интервалов между ними число разрывов становится больше, а сами разрывы (скачки) меньше; ступенчатая кривая становится более плавной; случайная величина приближается к непрерывной случайной величине, а ее функция распределения - к непрерывной функции.
На практике обычно функция распределения для непрерывной случайной величины представляет собой функцию, непрерывную во всех точках.
1 ----------------------
0
Плотность распределения
Пусть имеется непрерывная случайная величина с функцией распределения , которую мы предположим непрерывной и дифференцируемой. Вычислим вероятность попадания этой случайной величины на участок от до .
,
т.е. приращение функции распределения на этом участке. Рассмотрим отношение этой вероятности к длине участка, т.е. среднюю вероятность, приходящуюся на единицу длины на этом участке, и будем приближать Dx®0. В пределе получим производную от функции распределения
Обозначим . (*)
Функция - производная функции распределения, характеризует как бы плотность, с которой распределяются значения случайной величины в данной точке. Эта функция называется плотностью распределения (плотностью вероятности) непрерывной случайной величины . Иногда называют дифференциальной функцией распределения или дифференциальным законом распределения величины .
|
Плотность распределения так же, как и функция распределения есть одна из форм закона распределения. В противоположность функции распределения эта форма не является универсальной: она существует только для непрерывных случайных величин.
Рассмотрим непрерывную случайную величину с плотностью распределения и элементарный участок , примыкающий к точке . Вероятность попадания случайной величины на этот элементарный участок есть .
Выразим вероятность попадания величины на отрезок от до через плотность распределения. Очевидно, оно равно
.
Формула (*) выражает плотность распределения через функцию распределения. Зададимся обратной задачей: выразить функцию распределения через плотность. По определению
,
откуда .
|
|
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!