Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Топ:
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Интересное:
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Дисциплины:
2017-12-21 | 145 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Основные понятия
Уравнение вида
,
где - независимая переменная;
, - неизвестная функция и её производная,
называется дифференциальным уравнением первого порядка.
В случае, когда из уравнения можно выразить , оно имеет вид
.
Уравнение называется уравнением первого порядка, разрешённым относительно производной.
Например:
, , .
Решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Решение, заданное в неявном виде , называется интегралом дифференциального уравнения.
Например, функция является решением дифференциального уравнения , так как .
Теорема Коши (о существовании и единственности решения)
Если функция и её частная производная непрерывны в некоторой области плоскости , то в некоторой окрестности любой внутренней точки этой области существует единственное решение уравнения, удовлетворяющее условию при .
График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой. Теорема Коши гарантирует, что при соблюдении определённых условий через каждую внутреннюю точку области проходит только одна интегральная кривая.
Условия, которые задают значение функции в точке , называют начальными условиями и записывают
или .
Задача нахождения решения, удовлетворяющего условию, называется задачей Коши.
Общим решением уравнения называется функция , удовлетворяющая этому уравнению при произвольном значении .
Частным решением называется функция , полученная при определённом значении .
Уравнение , неявно задающее общее решение, называется общим интегралом дифференциального уравнения.
Уравнение , где - некоторое конкретное значение постоянной , называется частным интегралом.
|
Уравнения с разделяющимися переменными
Дифференциальное уравнение вида
,
где и - непрерывные функции, называется уравнением с разделяющимися переменными.
Запишем производную в эквивалентной форме как отношение дифференциалов , тогда
.
Для отыскания решения этого уравнения необходимо разделить в нём переменные. Умножим обе части уравнения на и поделим на , полагая, что , имеем
.
Теперь левая часть уравнения содержит только переменную , а правая – только . Интегрируя обе части этого уравнения, получим
.
Таким образом, найден общий интеграл уравнения.
Пример 26. Найти частное решение дифференциального уравнения при начальных условиях .
Решение
Перепишем данное уравнение в виде
.
Функция является решением уравнения. Остальные решения найдём, разделив переменные в уравнении и проинтегрировав его:
Так как ранее найденное решение можно получить из последнего соотношения, положив , то
- общее решение.
Из условия находим
.
Частное решение имеет вид
.
|
|
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!