Модели сотрудничества и конкуренции.

3.1.Сотрудничество и конкуренция двух фирм на рынке одного товара.

Рассмотрим две фирмы, i=1,2, выпускающие один и тот же товар. Пусть затраты i-й фирмы при выпуске x[i] равны a[i]*x[i] (таким образом, a[i] есть себе стоимость выпуска одной единицы товара i-й фирмой). Произведенный обеими фирмами товар поступает на общий рынок. Цена на товар линейно падает в зависимости от поступающего на рынок общего его количества: p(x)=c-bx, c,b>0, где x=x[1]+x[2]. Следовательно, прибыль i-ой фирмы равна W[i](x[1],x[2])=x[i]*(c-bx)-a[i]*x[i]=bx[i]*(d[i]-(x[1]+x[2])), где d[i]=(с-a[i])/b. Поведение каждой фирмы определяется ее стремлением максимизировать свою прибыль. Допустим, что первая фирма узнала стратегию второй, т.е. объем ее выпуска x[2]. Тогда она выбрала бы свой выпуск из условия максимизации своей прибыли: dW[1]/dx[1]=b*(d[1]-(x[1]+x[2]))-b*x[1]=0, т.е. x[1]=(d[1]-x[2])/2. Аналогично бы действовала вторая фирма, т.е. выбрала бы свой выпуск в объеме x[2]=(d[2]-x[1])/2. Стратегия Курно. Будем предполагать, что производственные циклы фирм совпадают. Пуcть фирмы выбирают свои оптимальные выпуски, зная объем производства своего конкурента за прошлый период. Далее на рис. изображены прямые-множества стратегий фирмы в ответ на известную стратегию другой фирмы. Предположим, что d[1]/2<d[2]<2d[1], тогда эти прямые пересекаются в точке K с координатами x[1]=(2d[1]-d[2])/3, x[2]=(2d[2]-d[1])/3. Эта точка называется точкой Курно.

Предполагаем, что a[1]=a[2], тогда d[1]=d[2]=d, тогда точка Курно K(d/3,d/3),

x[i]=d/3, прибыли фирм W[i]=bd^2/9, цена p=c-2bd/3.

На рис. изображены прямые – множества стратегий фирм в ответ на известную стратегию другой фирмы.

Допустим, что с=70, a=4, b=3Þd=22.Тогда:

Характеристика точки Курно:

x₁= x₂=d/3=7,3; P=(c-2bd)/3=26,0; W₁= W₂=(bd)²/9=161,3.

Стратегия Стакельберга и монополия, сводная таблица по всем трем точкам.

Стратегия Стакельберга. Что будет, если одна из фирм сознательно раскроет свою стратегию? Например, первая фирма даст возможность второй узнать свой ход x1, тогда вторая ответит оптимальным для нее образом: x2=(d-x1)/2. Первая будет теперь действовать, исходя именно из такого поведения второй. Но прежде чем довести до сведения второй свой ход, первая фирма просчитает этот ход, исходя из максимизации своей прибыли: W1(x1)=bx1(d-x1-(d-x1)/2)=bx1(d-x1)/2, найдем производную и приравнивая ее нулю, получим x1=d/2, значит, x2=d/4. Эта пара выпусков образует точку Стакельберга S=(d/2,d/4). Прибыли фирм при этом: W1=bd^2/8, W2=bd^2/16, тем самым прибыль первой больше, а второй меньше чем в точке Курно, цена товара p=c-3bd/4 и меньше, чем в точке Курно.

Монополия. При объединении (монополии) фирм суммарная прибыль равна W(x)=bx(d-x) и ее максимум достигается при x=d/2 и равен W=bd^2/4, цена товара равна p=c-bd/2, обе величины больше чем в точке Курно. Все три точки: Курно, Стакельберга и монополия сведены в таблицу (b= 3, c=70,d=22,0):

¦x1 x2 x W1 W2 W P

Точка Курно ¦d/3 d/3 2d/3 bd^2/9 bd^2/9 2bd^2/9 c-2bd/3

Точка Стакельберга ¦d/2 d/4 3d/4 bd^2/8 bd^2/16 3bd^2/16 c-3bd/4

Монополия ¦ d/2 bd^2/4 c-bd/2

Для потребителя наиболее предпочтительна точка Стакельберга, в которой цена товара наинизшая, а объем выпуска наибольший, а менее всего благоприятна ситуация монополии или картеля, в которой цена товара наивысшая, выпуск самый малый, зато суммарная прибыль фирм самая большая.

E. Угрозы и торги при взаимодействии двух фирм. Остановимся еще на некоторых моментах.

1) В стратегии Стакельберга первая фирма находится явно в более выгодной ситуации – ее прибыль в два раза больше. Возможно, вторая фирма не захочет с этим согласиться. Но все, что она может сделать – это изменить как-нибудь свой выпуск. Однако при этом ее прибыль только лишь уменьшится. Однако уменьшится и прибыль первой фирмы. Если первая фирма забеспокоится, то возможен разумный торг. Однако, если первая фирма более мощная, то она может сознательно пойти на уменьшение своей прибыли, продолжая выпускать , в надежде, что уменьшение прибыли второй фирмы “образумит” ее, т. е. заставит вернуться к выпуску .

2) Из таблицы видно, что первая фирма во всех ситуациях: в точке Курно, при стратегии Стакельберга, получает прибыль не более . Есть ли возможность получить большую прибыль? Если она более мощная, чем вторая фирма, то она может навязать второй фирме стратегию Стакельберга, а затем предложить перейти к выпускам по . При этом ее прибыль останется прежней - , но прибыль второй фирмы увеличится с до Поэтому является разумным предложить второй фирме разделить этот излишек в между обеими фирмами, тем самым прибыль первой фирмы превысит .