История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Топ:
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Интересное:
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Дисциплины:
2017-12-13 | 254 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Пусть функция имеет частные производные первого порядка . Так как производные являются функциями аргументов х и у, то можно найти производные от этих функций. Частные производные этих функций называются частными производными второго порядка (вторыми частными производными) данной функции .
Так, для функции z = f(x, у) двух аргументов х и у (предполагается, что все производные первого порядка существуют) частные производные второго порядка:
.
Частные производные называются смешанными частными производными второго порядка.
Решение задач
Пример 3.1. Найти частные производные функций:
1). ;
2). .
Решение. 1) рассматривая у как постоянную величину, получим , рассматривая х как постоянную величину, найдем: .
2) пусть – const, получим ,
пусть х – const, получим .
Пример 3.2. Реакция на инъекцию х единиц лекарственного препарата описывается функцией , где t выражается в часах с момента инъекции, a – некоторая константа. Найти частные производные .
Решение. Найдем частные производные
;
.
Пример 3.3. Для функции найти производные второго порядка.
Решение. Найдем частные производные первого порядка , .
Дифференцируя повторно, получим:
.
Пример 3.4. Найти полный дифференциал функций:
1). ;
2). .
Решение. 1) Найдем частные производные
;
.
Следовательно, .
2) найдем частные производные по переменным х, у и z:
, , ,
следовательно
.
Примеры для самостоятельного решения
Найти частные производные функций:
1. .
2. .
3. .
4. .
Найти все частные производные второго порядка функции:
5. .
6. .
Найти частные и полный дифференциал для следующих функций:
7. .
8. .
9. .
10. .
Задание на дом
Практика
Найти все частные производные функций:
|
1. .
2. .
3. .
4. .
Найти частные и полный дифференциал для следующих функций:
5. .
6. .
7. .
8. .
Теория
1. Лекция по теме «Неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла. Основные способы интегрирования».
2. Занятие 4 данного методического пособия.
3. Павлушков И.В. и другие стр. 122-144.
Занятие 4. Неопределенный интеграл и его основные свойства. Основные методы интегрирования.
Актуальность темы: понятие неопределенного интеграла является одним из ключевых понятий математического анализа. Методы интегрирования позволяют решать задачу восстановления функции по ее производной, которая находит широкое применение в естественнонаучных дисциплинах.
Цель занятия: закрепление понятия неопределенного интеграла; овладение способами и методами интегрирования.
Целевые задачи:
знать: понятие первообразной функции, определение неопределенного интеграла, основные свойства неопределенного интеграла; свойства интеграла; сущность методов интегрирования;
уметь: применять основные формулы интегрирования при нахождении интегралов методом непосредственного интегрирования; использовать свойство инвариантности неопределенного интеграла, применять методы интегрирования.
Краткие сведения из теоретического курса
Основные понятия
Восстановление функции по известной производной этой функции основная задача интегрального исчисления (т.е. найти функцию F(x), зная ее производную или дифференциал).
Первообразной функцией для данной функции f(x) на интервале называется такая функция F(x), производная которой равна f(x) или дифференциал которой равен f(x)dx на рассматриваемом интервале.
Теорема. Если функция F(x) является первообразной для функции f(x) на некотором интервале, то множество всех первообразных для f(x) задается формулой F(x)+C, где С – постоянное число:
.
Множество всех первообразных функций F(x)+C для f(x) или f(x)dx называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается . Таким образом можно записать , если F’(x)=f(x).
|
Свойства неопределенного интеграла
1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т. е. .
2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е. .
3. Интеграл от дифференциала первообразной равен самой первообразной и дополнительному слагаемому С, т. е.
4. Постоянный множитель не равный нулю можно вынести за знак неопределенного интеграла, т. е.
5. Интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых, т. е.
.
Таблица простейших интегралов
1. ;
2. ;
3. , при ;
4. , ;
5. ;
6. ;
7. ;
8. ;
9. ;
10. .
|
|
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!