Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Топ:
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Оснащения врачебно-сестринской бригады.
Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...
Интересное:
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Дисциплины:
2017-12-13 | 319 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Функция называется непрерывной на интервале , если она непрерывна в каждой точке . Если же, кроме того, функция непрерывна в точке а справа, а в точке – слева, то функция называется непрерывной на отрезке .
Функция называется кусочно-непрерывной на отрезке , если она непрерывна во всех внутренних точках , за исключением конечного числа точек, в которых она имеет разрывы первого рода, а в точках а и имеет соответствующие односторонние пределы.
Утверждение 1. Монотонная на отрезке функция может иметь точки разрыва только первого рода.
Согласно этому утверждению, множество значений монотонной функции будет отрезком в том и только в том случае, если – непрерывная функция на отрезке .
Утверждение 2 (об устойчивости знака непрерывной функции). Пусть функция непрерывна в точке и . Тогда существует -окрестность точки , такая, что в этой окрестности функция имеет тот же знак, что и .
Геометрический смысл этого утверждения состоит в том, что, если функция непрерывна в точке и отлична в ней от нуля, то некоторая часть графика этой функции, проходящая через точку , не пересекает ось (рис. 1).
Теорема 1 (первая теорема Больцано-Коши). Пусть функция непрерывна на отрезке и на концах отрезка имеет значения разных знаков. Тогда существует точка , в которой .
Геометрический смысл этой теоремы также очевиден. Поскольку функция непрерывна на отрезке, то ее график состоит из одного «сплошного» куска. Эта кривая соединяет точки , , одна из которых лежит ниже оси Ox, вторая – выше оси Ox. Следовательно, существует точка с на оси Ox, в которой график пересекает ось Ox (рис. 2).
Теорема 2 (вторая теорема Больцано-Коши). Пусть функция непрерывна на отрезке , причем . Тогда, если С – любое число, лежащее строго между и , то существует точка , такая, что .
|
Другими словами, непрерывная на отрезке функция принимает любое свое промежуточное значение.
Геометрический смысл этой теоремы показан на рис. 3.
372. Свойства функций, непрерывных в точке.
Основные свойства функций, непрерывных в точке, непосредственно следуют из соответствующих свойств их пределов.
Свойство 1. Пусть функции и непрерывны в точке . Тогда функции также непрерывны в этой точке (последняя при условии, что ).
Свойство 2. Пусть функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке . Тогда сложная функция непрерывна в точке .
Непрерывность элементарных функций. Эементарной называется такая функция, которую можно задать одной формулой, содержащей конечное число арифметических действий и суперпозиций (операция взятия функции от функции) основных элементарных функций. Поэтому из приведенных свойств о пределах и непрерывности функций вытекает, что всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.
Этот результат позволяет легко находить пределы элементарных функций в точках, где они определены.
|
|
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!