История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Топ:
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Интересное:
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Дисциплины:
2017-12-13 | 254 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Пусть функция определена и непрерывна на [ a;b ]. Вычислим площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью OX и прямыми и . Разобьем отрезок [ a;b ] на n произвольных частей точками так, чтобы .Через отмеченные точки проведем прямые, параллельные оси ординат, и получим на каждом отрезке криволинейную трапецию. При этом площадь всей криволинейной трапеции будет равна сумме площадей маленьких криволинейных трапеций. На каждом отрезке выберем точку и значение функции в этой точке. На отрезке строим прямоугольник высоты , площадь которого = . Площадь этого прямоугольника примерно равна площади маленькой криволинейной трапеции.
Найдем сумму площадей всех прямоугольников. Эта сумма имеет вид и называется интегральной. Она зависит от способа разбиения отрезка [ a;b ] на участки и от выбора точки на каждом участке разбиения. Интегральная сумма приближенно описывает площадь криволинейной трапеции.
Точное значение площади криволинейной трапеции мы получим, если найдем предел интегральной суммы при и при условии, что диаметр максимального разбиения стремится к нулю, то есть .
Определение. Определенным интегралом функции на [ a;b ] называется предел вида .
Если предел конечен, то называется интегрируемой на [ a;b ]. Этот предел не зависит от способа разбиения [ a;b ] на участки и не зависит от выбора точки на каждом участке разбиения и обозначается , где a - нижний предел интегрирования, b - верхний предел интегрирования.
Геометрический смысл определенного интеграла.
численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, графиком и прямыми .
Свойства определенного интеграла.
1)
2) , k=const
3)
4) , если - свойство аддитивности интеграла по мере
5) Интеграл от неотрицательной функции на [ a;b ] - неотрицательное число, то есть: если на [ a;b ], то - свойство знакопостоянства.
6) Если , то .
7) при a<b.
8) .
9)
Теорема о среднем значении определенного интеграла.
Рассмотрим функцию интегрируемую на [ a;b ].
Теорема 1. Пусть функция на [ a;b ] удовлетворяет условию , тогда .
Доказательство. Если , то по свойству 6 . Используя свойство 2 и 9 соответственно получим, что и .
Теорема 2. Пусть функция интегрируема на [ a;b ] и на этом отрезке выполняется неравенство , тогда существует число , для которого .
Доказательство. Из теоремы 1 следует , получим . В качестве возьмем число
, тогда .
Следствие из теоремы 2.
Если непрерывна на [ a;b ], то существует точка , для которой выполняется равенство , то есть площадь криволинейной трапеции равна площади прямоугольника со сторонами и .
Лекция 12. Основная формула интегрального исчисления.
Определенный интеграл с переменным верхним пределом интегрирования и его свойства.
Формула Ньютона-Лейбница - основная формула интегрального исчисления.
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!