Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Топ:
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Интересное:
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Дисциплины:
2017-12-13 | 291 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Определение. Средним квадратическим отклонением (с.к.о.) случайной величины Х называется квадратный корень из её дисперсии:
. (12.6.1)
Среднее квадратическое отклонение имеет тот же смысл, что и дисперсия, т.е. является характеристикой рассеяния возможных значений случайной величины вокруг её математического ожидания. Вторая характеристика того же признака введена потому, что в отличие от дисперсии среднее квадратическое отклонение имеет ту же размерность, что и значения случайной величины. Например, если xi и МХ измеряются в метрах, то DX будет измеряться в квадратных метрах, что неудобно, а среднее квадратическое отклонение – соответственно снова в метрах.
Числовые характеристики основных дискретных распределений
Индикатор события
Найдём для характеристической случайной величины (8.2.1) её математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Очевидно, что величина имеет такой же закон распределения, что и :
|
|
Тогда
(12.7.1)
Биномиальное распределение
Пусть случайная величина Х принимает значения k =0,1,2,…, п и распределена по биномиальному закону:
Р (Х=k)= (12.7.2)
Величину Х можно рассматривать как сумму независимых случайных величин
, (12.7.3)
где слагаемыми являются характеристические случайные величины. Действительно, рассмотрим индикаторы каждого из п испытаний
c1 | c2 | ck | cn | |||||||||||
p | q | р | p | q | р | p | q | р | p | q | р |
и составим ряд распределения случайной величины (12.7.3), которая по определению суммы случайных величин принимает возможные значения, равные всевозможным суммам, составленным из п нулей и единиц. Таких сумм будет , где k - число единиц в сумме. Вероятности принятия этих значений получим, перемножив вероятности р и q в нужных количествах.
|
Х= | 0+0+…++0=0 (1 комбинация) | 0+0+…+ +0+1=1 ( комбинаций) | 0+0+…+0+ +1+1=2 ( комбинаций) | 0+0+…+ +1+1+…1= k ( комбинаций) | … … | 0+1+1+…+1= n- 1 ( комбинаций) | 1+1+…+ +1= n (1 комбинация) |
p | qn | …… | n |
Получили биномиальное распределение случайной величины (12.7.3). Для нахождения её числовых характеристик воспользуемся свойствами линейности математического ожидания и дисперсии относительно суммирования и формулами (10.12.1):
(12.7.4)
Теперь становится понятным смысл случайной величины в приближённых формулах Лапласа (7.2.2, 7.2.4). А именно, Х представляет собой отклонение числа появлений события А от его математического ожидания (среднего значения), измеренное в стандартах, или так называемое нормированное отклонение.
Пример. Стрелок делает 2 выстрела в цель. Вероятность попадания при одном выстреле равна р, промаха – q. Тогда числа попаданий при первом и втором выстрелах имеют распределение
c1 | c2 | |||||
p | q | р | p | q | р |
Сумма имеет распределение
0+1=1 | |||
p | q 2 | 2 рq | p 2 |
При трёх выстрелах имеем распределение:
p | q 3 | 3 рq 2 | 3 pq 2 | p 3 |
Это частные случаи биномиального распределения при п =2 и 3.
Распределение Пуассона
Если случайная величина имеет распределение Пуассона (8.4.1), то она принимает значения k =0,1,2,… с вероятностями
(12.7.5)
В данном случае возможные значения случайной величины определяются бесконечной числовой последовательностью, и, следовательно, математическое ожидание выражается суммой бесконечного ряда
По сокращённой формуле (12.4.1) найдём дисперсию:
.
Здесь мы воспользовались тем, что выражение есть разложение экспоненты еl в ряд Маклорена. Таким образом, если случайная величина имеет распределение Пуассона, то и математическое ожидание, и дисперсия равны параметру l =пр, т.е. среднему числу появлений события А.
|
|
|
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!