Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Топ:
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Интересное:
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Дисциплины:
2017-12-12 | 377 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Функция - однородная функция п-го порядка относительно переменных х и у, если при любой ƛ справедливо тождество:
Уравнение первого порядка:
- называется однородным относительно х,у если функция f(x,y) является однородной функцией неравного измерения относительно х и у
Решение однородного уравенения:
По условию
Теперь возьмем . Получается
Уравнение в этомслучае примет вид:
Сделаем подстановку:
y=Ux, тогда
Подставив в (2) получим:
=f(1,U)
Интегрируя находим:
Подставляя вместо U его значение получим интеграл уравнения
Линейные однородные ДУ. Решение уравнения
Функция называется однородной функцией своих аргументов измерения , если справедливо тождество.
Например, функция есть однородная функция второго измерения, так как
При имеем функцию нулевого измерения. Например, есть однородная функция нулевого измерения, так как
Дифференциальное уравнение вида называется однородным относительно х и у, если есть однородная функция своих аргументов нулевого измерения. Однородное уравнение всегда можно представить в виде (1)
Вводя новую искомую функцию , уравнение (1) можно привести к уравнению с разделяющими переменными:
Если есть корень уравнения , то решение однородного уравнения будет или (прямая, проходящая через начало координат).
Замечание. При решении однородных уравнений необязательно приводить их к виду (1). Можно сразу делать подстановку.
Уравнение Бернулли
Здесь Р(х) и Q(x) непрерывная функция от х, а п≠0≠ 1
Это уравнение можно привести к линейному сдел преоброзованием разделив его на
Делаем замену: z=
Получим
Подставим данное уравнение в 1е и получим:
|
Получили линейное уравнение
Уравнение в полных дифференциалах
Если дифференциальное уравнение имеет вид dy/dx = M(x,y)/N(x,y), где M и N – две заданные функции, то его можно представить как M(x,y)dx – N(x,y)dy = 0. Если левая часть является дифференциалом некоторой функции F(x,y), то дифференциальное уравнение можно записать в виде dF(x,y) = 0, что эквивалентно уравнению F(x,y) = const. Таким образом, кривые-решения уравнения – это «линии постоянных уровней» функции, или геометрические места точек, удовлетворяющих уравнениям F(x,y) = c. Уравнение ydy = xdx (рис. 1) – с разделяющимися переменными, и оно же – в полных дифференциалах: чтобы убедиться в последнем, запишем его в виде ydy – xdx = 0, т.е. d(y2 – x2) = 0. Функция F(x,y) в этом случае равна (1/2)(y2 – x2); некоторые из ее линий постоянного уровня представлены на рис. 1.
Особые решения ду 1 порядка
Особые точки и особые решения уравнения первого порядка. Если в окрестности точки (x 0, y 0) плоскости для уравнения выполняются условия существования и единственности решения задачи Коши (непрерывность f (x, y) и ), то через эту точку проходит единственная интегральная кривая. Если эти условия нарушаются, точку (x 0, y 0) называют особой точкой дифференциального уравнения. Через особую точку может не проходить ни одной интегральной кривой (т.е. задача , y (x 0) = y 0 не имеет решения); может проходить одна интегральная кривая; может проходить несколько интегральных кривых. Особые точки могут образовать кривую, которая сама является интегральной кривой уравнения. Решение уравнения, в каждой точке которого нарушается его единственность, называют особым решением. Для примера рассмотрим уравнение . Здесь - непрерывна в любой точке (x, y), но - не имеет конечного предела при , т.е. в любой точке (x, y) при y = 0 нарушается условие существования непрерывной производной . Следовательно, любая точка (x, 0) является особой точкой уравнения. Прямая y = 0, очевидно, интегральная кривая уравнения (функция y = 0 удовлетворяет уравнению). Найдём общее решение этого уравнения: . Несколько таких функций приведено на рисунке справа вверху вместе с решением y = 0. В любой точке (x, 0) нарушается единственность решения, таким образом, решение y = 0 - особое. На самом деле через любую точку (x, 0)проходит бесконечное количество интегральных кривых, так как любая кривая, составленная из частей особого и неособых решений (одна такая кривая выделена красным пунктиром), также является интегральной кривой.
|
|
|
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!