Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Топ:
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Интересное:
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Дисциплины:
2017-12-10 | 278 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Рассмотрим несколько задач, в которых требуется составить уравнение плоскости, удовлетворяющей тем или иным условиям. Решения всех этих задач сводятся к записи условия компланарности трех векторов, которое состоит в равенстве нулю их смешанного произведения (см. п. 2.5).
Задача 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через 3 данные точки , , .
Решение. Обозначим через произвольную ("текущую") точку плоскости. Точка М будет лежать в одной плоскости с точками тогда и только тогда, когда векторы , , будут лежать в одной плоскости (компланарны). Записываем условие компланарности: или в координатах (см п. 2.5)
.
При решении остальных задач для краткости не будем выписывать выражение смешанного произведения в виде определителя третьего порядка.
Задача 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через две точки и и перпендикулярной данной плоскости .
Решение. Пусть – текущая точка нужной нам плоскости. Она будет принадлежать этой плоскости тогда и только тогда, когда векторы , и нормальный вектор заданной плоскости будут компланарны. Поэтому искомое уравнение записывается в виде следующего условия компланарности: .
Задача 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через данную прямую и параллельной другой данной прямой (заданные прямые не параллельны).
Решение. Пусть M – текущая точка плоскости, а М 0 – любая точка первой прямой, и – направляющие векторы заданных прямых. Ясно, что должны быть компланарны векторы , и . Искомое уравнение: .
Задача 4. Составить уравнение плоскости, проходящей через данную точку М 0 и данную прямую.
Решение. Здесь дело сводится к записи условия компланарности трех векторов: (где М – текущая точка плоскости), (где – какая-нибудь точка заданной прямой) и – направляющего вектора прямой. В результате приходим к уравнению плоскости:
|
.
Задача 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через данную прямую и перпендикулярной данной плоскости.
Решение. Эта задача похожа на Задачу 2, только надо заменить вектор на направляющий вектор заданной прямой. В итоге получаем искомое уравнение:
.
Поверхности второго порядка
■ Поверхностями второго порядка называются такие множества точек в пространстве, координаты которых удовлетворяют уравнению вида
. (*)
Например, уравнение
определяет сферу радиуса R с центром в начале координат.
■ Канонические уравнения поверхностей второго порядка. При помощи поворотов и параллельного переноса осей координат всякое уравнение вида (*) может быть преобразовано к каноническому виду. Основные канонические уравнения и названия соответствующих поверхностей даны в табл. 1, а их схематические изображения приведены на рис. 32, а – к. Ниже описаны наиболее важные свойства некоторых поверхностей второго порядка.
Эллипсоид (рис. 32, а).Сечением эллипсоида любой плоскостью, параллельной координатным плоскостям, является эллипс (в частном случае круг). Координаты точек эллипсоида удовлетворяют неравенствам , , .
В частном случае имеем эллипсоид вращения, получающийся при вращении эллипса , лежащего в плоскости xOz,вокруг оси Oz.
Гиперболоиды (рис. 32, б, в).Для обоих гиперболоидов сечения, параллельные оси Oz – гиперболы (для однополостного гиперболоида в сечении может быть пара пересекающихся прямых); сечения, параллельные плоскости хОу – эллипсы.
Двуполостный гиперболоид состоитиз двух частей, точки которых расположены соответственно при и .
Конус (рис. 32, г)имеет вершину в начале координат. Поверхность конуса состоит из прямых линий (эти линии называются образующими),проходящих через его вершину и через точки эллипса с полуосями а и b,плоскость которого перпендикулярна оси Oz и находится на расстоянии с от начала координат.
|
Эллиптический параболоид (рис. 32, д).Сечения, параллельные оси Oz – параболы; сечения, параллельные плоскости хОу – эллипсы. Точки эллиптического параболоида расположены в области .
В частном случае имеем параболоид вращения, порождаемый вращением параболы вокруг оси Oz.
Гиперболический параболоид (рис. 32, е). Сечения, параллельные плоскостям yOz и xOz – параболы; сечения, параллельные плоскости хОу – гиперболы (и пара пересекающихся прямых).
Цилиндры (рис. 32, ж, з, и).Поверхности цилиндров состоят из прямых линий (образующих), параллельных оси Oz. Сечениями (перпендикулярными оси Oz) эллиптического, гиперболического и параболического цилиндров соответственно являются эллипсы, гиперболы и параболы.
|
|
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!