Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Топ:
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Интересное:
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Дисциплины:
2017-12-09 | 348 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Теорема (критерий Коши): Для того чтобы ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы и выполнялось бы: .{Сходимость числового ряда определяется сходимостью числовой последовательности { }. Ранее доказано: для того чтобы последовательность { } сходилась, необходимо и достаточно, чтобы и выполнялось бы: или .}
Теорема (необходимое условие сходимости): . Переходя к пределу при , получим: . Тот же результат можно получить из критерия Коши, полагая p = 1. Очевидно, условие является необходимым, но не достаточным условием сходимости числового ряда. (НО: Ряд расходится, однако )
Признаки сравнения числовых рядов
Теорема 1 (признак сравнения): Пусть даны два ряда: (1) и (2). Если, начиная с некоторого номера выполняется: (3), , то из сходимости ряда (2) сходимость ряда (1); из расходимости ряда (1) расходимость ряда (2).
{ Не ограничивая общности, будем считать, что неравенство выполняется для всех n. Пусть . Очевидно, последовательности { } и { } – монотонные неубывающие. Пусть ряд (2) сходится. Тогда { } ограничена: . Но тогда, в силу (3), и ряд (1) – также сходится.
Пусть ряд (1) расходится. Если бы ряд (2) сходился, то, по доказанному выше, сходился бы и ряд (1). Т.е. получили бы противоречие. Таким образом, ряд (2) также расходится.}
Теорема 2 (признак сравнения в предельной форме): Пусть Если существует то ряды (1) и (2) сходятся либо расходятся одновременно. { Пусть ряд (2) сходится.Из существования : , откуда получаем: или следует сходимость ряда (1). Пусть ряд (2) расходится.Существует , откуда аналогичным образом получаем: . Если бы сходился ряд (1), а вместе с ним и ряд , то по теореме 1 сходился бы и ряд (2). А это не так. Значит, ряд (1) также расходится.}
|
. Так как , а ряд - расходится ( то расходится и ряд .
Признак Коши и Даламбера
Теорема (признак Коши в предельной форме): Если существует , то при ряд (1) сходится; при расходится, при этот признак не даёт возможности судить о поведении ряда.
{
a) начиная с некоторого номера < 1. Ряд сходится.
б) начиная с некоторого номера >1. Ряд расходится. }
Теорема (признак Даламбера): Пусть Если, начиная с некоторого номера , для всех , то ряд (1) сходится. Если же , то ряд (1) расходится. { Пусть . Для Т.к. ряд - сходится, то, по признаку сравнения, сходится и остаток ряда , а значит, сходится ряд (1). Пусть для . Т.е. и , не выполняется необходимое условие сходимости ряда. Ряд расходится. }
Теорема (признак Даламбера в предельной форме): Если то при ряд (1) сходится, при расходится, при этот признак не даёт возможности судить о поведении ряда.
{ a) начиная с некоторого номера Ряд сх.
б) начиная с некоторого номера >1. Ряд расх. }
5.Интегральный признак сходимости (Признак Коши - Маклорена)
Теорема (Коши - Маклорена): Пусть функция у = f(x) определена при х≥1, неотрицательна и монотонно убывает на ∞). Тогда ряд , где сходится тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл (2)
[Так как f(x) монотонна на ∞), то она интегрируема по Риману на любом отрезке [1, ], поэтому имеет смысл . Так как f(x)-убывает на ∞), то для f(k+1) . Проинтегрируем последнее неравенство по отрезку : , k=1,2,3.4...
Просуммируем по к:
Обозначим, Тогда
Пусть несобственный интеграл (2) сходится. Последовательность монотонна () и ограничена. Тогда ограничена и последовательность . А поскольку она монотонно возрастает, то является сходящейся.
Пусть сходится ряд (1). Покажем, что сходится несобственный интеграл (2). Последовательность – монотонная, сходящаяся последовательность, следовательно, ограничена.
Тогда из (3) следует ограниченность возрастающей последовательности , а следовательно, её сходимость. То есть существует конечный ; интеграл (2) сходится.}
|
Пример: , s>0, Рассмотрим f(x)= на [1, );
Значит, ряд сходится при s>1 и расходится при s
|
|
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!