Сводные индексы, рассчитанные по методу средних отношений

Первым и простейшим индексом, рассчитанным по методу средних, является индекс Карли:

 

(10)

 

Приведённый метод не учитывает того, что в каждом из сравниваемых периодов реализуется различное количество товара в одну и ту же страну (или различное количество одноимённых товаров, включённых в одну группу).

Понятно, что вычисление простой средней арифметической не имеет оснований, так как нельзя все товары рассматривать как имеющие одинаковое значение в общем объёме внешней торговли.

Очевидно, что при вычислении среднего индекса следует брать не простую, а взвешенную среднюю арифметическую или гармоническую, причём в качестве весов w_i для каждого товара можно взять либо объёмы продаж в натуральном выражении q_i, либо, если эти объёмы несопоставимы (тонны, штуки, метры), можно в качестве весов принять некоторую абстрактную величину, характеризующую значение, роль данного продукта в общем объёме товарооборота:

 

(11)

 

Средний взвешенный гармонический индекс вычисляется по формуле:

 

 

Выражение сводного индекса через индивидуальные индексы имеет то преимущество, что позволяет наглядно представить как динамику цен по отдельным товарам, так и их роль в формировании сводного индекса.

Торнквист предложил индекс цен, который исчисляется как средняя геометрическая из индивидуальных индексов по отдельным товарам. Такой индекс правильнее отражает математическую сущность индекса как относительной величины, так как позволяет представить сводный индекс не только через индивидуальные, но и через групповые индексы, причём объединить товары в группы можно по разному в зависимости от поставленной задачи. Но при таком построении индекса теряется преимущество взвешивания:

 

(12)

 

Чтобы устранить этот недостаток, при расчёте индекса по формуле средней геометрической веса можно ввести как показатель степени:

 

(13)

Этот индекс, наиболее правильный с математической точки зрения, имеет тот недостаток, что даже при небольшом перечне товаров вычисления становятся весьма громоздкими.

 

Агрегатные индексы

Агрегатные индексы чаще применяются в качестве общего, сводного, индекса, чем любой из средних индексов, хотя в некоторых случаях подходы к их исчислению совпадают. Агрегатный индекс может быть простым или взвешенным.

Простой агрегатный индекс цен представляет собой отношение суммы цен совокупности товаров или суммы цен по совокупности объектов (стран) в сравниваемом периоде к сумме цен той же совокупности товаров (стран) в базисном периоде (индекс Дюто):

 

, (14)

 

где: i обозначает индекс товаров или объектов, по которым осуществляется суммирование.

Однако простой агрегатный индекс цен является очень грубым и неточным. Основной его недостаток заключается в том, что здесь цена малого и большого количества проданного товара учитывается в равной степени, между тем экспортная цена определяется в основном теми товарами, которые покупаются в большем количестве. То есть возникает необходимость взвешивания.

Другим недостатком простого агрегатного индекса является его неспособность преодолеть несопоставимость, возникающую из-за применения различных единиц измерения. Особенно наглядно эта проблема проявляется при построении простого агрегатного индекса физического объёма:

 

(15)

Но как, например, при исчислении этого индекса просуммировать в числителе или знаменателе объёмы всех экспортируемых товаров, если количество одного измеряется в тоннах, других – в штуках или метрах?

Эти проблемы решаются с помощью взвешенных агрегатных индексов цен и физического объёма. При расчёте индексов цен весами, или агрегатами, обычно являются физические объёмы товаров:

 

(16)

 

Этот индекс совпадает с формулой расчёта среднего индекса (11), если в ней в качестве весов w_i принять объёмы q_i.

В зависимости от выбора периода, структура которого берётся за основу при задании весов q_i, в статистике используют два основных типа взвешенных агрегатных индексов цен:

 

- индекс с постоянными весами или индекс Ласпейреса:

 

(17)

 

- и индекс с переменными весами или индекс Пааше, при исчислении индекса цен он имеет вид:

 

(18)

 

где: p_i1 и p_i0 – цена конкретного i -го товара (или цена товара, проданного в конкретную i -ю страну), соответственно, в сравниваемый и базисный моменты времени;

q_i1 и q_i0 – количество товара, соответственно, в сравниваемом и базисном периоде.

Индекс Ласпейреса можно исчислять также по формуле средней арифметической:

 

(19)

С учётом того, что p_0i∙q_0i – не что иное, как объём товара в стоимостном измерении, а i_pi – индекс цен по каждому i -му товару (или стране-контрагенту), эта формула часто бывает более удобной для расчётов.

Индекс цен Пааше можно исчислять по формуле средней гармонической:

 

(20)

 

Эти формулы дают тот же результат, что и (17, 18), но оказываются более удобными, когда известны индексы цен по каждому конкретному товару. Их применение также предпочтительно в том случае, когда в расчётах не удаётся учесть все единицы совокупности по причине отсутствия данных или несопоставимости различных единиц измерения.

Индексы физического объёма Ласпейреса и Пааше, соответственно, имеют вид:

 

(21)

 

(22)

 

Они имеют то преимущество перед индексом физического объёма, вычисляемого по формуле (15), что в расчёте принимают участие не физические объёмы (которые, как отмечалось, могут измеряться в разных единицах), а стоимости; но при условии одинаковых цен базисного (21) или текущего (22) периодов. Таким образом, можно считать, что изменение стоимости обусловлено только изменением объёмов.

Оценка динамики цен и физического объёма с использованием индексов Пааше и Ласпейреса приводит к различным результатам. Эти различия объясняются структурными сдвигами, влияние которых учитывается либо в индексе физического объёма Пааше, либо в индексе цен Пааше.

Чтобы отдельно оценить влияние структурных сдвигов на динамику цен, физического объёма и стоимости, рассчитывается индекс структуры как отношение индекса цен или физического объёма Пааше к соответствующему индексу Ласпейреса:

 

(23)

Как уже отмечалось, между индивидуальными индексами стоимости, цен и физического объёма справедливо соотношение (4), устанавливающее связь между динамикой этих показателей, что позволяет проводить анализ влияния факторов на изменение стоимостных объёмов внешней торговли. Для сводных агрегатных индексов (в коэффициентах) справедливо:

 

 

Отдельное использование индексов Пааше или индексов Ласпейреса для описания динамики цен и физических объёмов не позволяет выдержать весьма важное соотношение между индексами цен, индексами физического объёма и стоимости.

Фишер предложил использовать среднее геометрическое из этих индексов, чтобы добиться равенства произведением индексов цены и физического объёма и индекса стоимости.

 

 

Индекс Фишера имеет вид:

 

(24)

 

(25)

 

Для индекса Фишера справедливо соотношение:

 

(26)

 

Фишер при разработке этого индекса ставил задачу создать идеальный сводный индекс, который удовлетворял бы соотношениям (4, 7 и 8), справедливым для индивидуальных индексов, то есть соотношению между индексами цен, физического объёма и стоимостью, а также соотношениям между цепными и базисными индексами. Но ему это не удалось: индекс Фишера не позволяет рассчитывать цепные индексы по базисным и наоборот.

Принцип круговой сходимости из всех сводных индексов выполняется только для индекса Ласпейреса, так как при построении этого индекса взвешивание происходит всё время по одним и тем же весам базисного периода, но недостатком этого индекса является то, что в нём не учитываются изменения в структуре товарооборота, как это учитывается в индексе Пааше.

Из всего изложенного следует, что не может быть разработан идеальный сводный индекс, который удовлетворял бы всем необходимым соотношениям. Каждый индекс служит конкретной цели и используется для решения определенной задачи.

Основные различия между индексами и результатами оценки динамики на их основе определяются всё же не столько формулой расчёта, сколько выбором весов.

Если при построении индексов цен предпочтение отдаётся формуле с постоянными весами, то весами могут служить физические объёмы базисного периода или какого-то другого конкретного периода, либо средние объёмы за ряд периодов.

При таком подходе к расчёту индекса цен индекс физического объёма рассчитывается как отношение индекса стоимости к индексу цены:

 

(27)

 

Рассчитанный таким образом индекс физического объёма является индексом с переменными весами, то есть весами в данном случае являются цены текущего периода.

Если же при расчёте индекса цен предпочтение отдаётся индексу переменного состава (такой подход предпочтительнее при динамичных изменениях структуры экспорта и импорта, как по товарам, так и по странам), то весами служат физические объёмы текущего периода. А индекс физического объёма, рассчитанный как отношение индекса стоимости к индексу цены, в этом случае является индексом постоянного состава:

 

(28)