Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Топ:
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Интересное:
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Дисциплины:
2017-11-21 | 344 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Полный дифференциал.
Определение 6. Частной производной попеременной «х» от функции называется предел отношения частного приращения к приращению при стремлении последнего к нулю.
Частная производная по х обозначается одним из символов
, , .
Согласно определению
. (6)
Определение.7. Частной производной по у от функции называется предел отношения частного приращения к приращению при стремлении последнего к нулю.
Частная производная по у обозначается символами
, , , .
Согласно определению
. (7)
Из этих определений следует правило, по которому следует вычислять частную производную.
Частная производная вычисляется от функции по переменной х при постоянной у.
Частная производная вычисляется по переменной у при постоянной х.
При вычислении частных производных применяют все приемы вычислений производных сложных функций.
Пример 4. Вычислить частные производные функции
Решение.
– здесь играет роль постоянного множителя,
– в данном случае числовой множитель, а производную от вычисляем «по цепочке».
Пример 5. Вычислить частные производные функции .
Решение.
, вновь переменная «у» равна постоянной, и мы использовали формулу производной степенной функции .
, потому что , и мы используем формулу производной показательной функции .
Пример 6. Вычислить частные производные функции трех переменных .
Решение.
, , .
Физический смысл частных производных остается прежним: они характеризуют скорость изменения функции по переменным «х» и «у» отдельно.
С геометрической точки зрения производная функции одной переменной численно равна тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси OХ.
|
Для функции двух переменных касательная «переходит» в касательную плоскость к поверхности, определяемой уравнением .
Для функций, содержащих большее число переменных, геометрическую интерпретацию частных производных дать нельзя.
ПДифференциал
Возникает вопрос, а не существует ли одной, общей производной для функции двух или больше аргументов? Нет, не существует. Но общее изменение функции можно охарактеризовать с помощью полного дифференциала , как главной части приращения функции. Для функции одной переменной дифференциал равен . Для функции двух переменных логично ожидать сумму «частных дифференциалов» по обеим переменным. Строгое доказательство этого утверждения можно найти в рекомендуемой литературе. Мы ограничимся определением и покажем его применение для решения задач.
Определение 8. Пусть функция непрерывна вместе со своими частными производными по х и у. Полным дифференциалом называется сумма произведений частных производных на дифференциалы соответствующих независимых переменных, т.е.
. (.8)
Это выражение является аналогом формулы для дифференциала функции одной переменной. Известно, что дифференциал функции приближенно равен ее приращению: . Поэтому значение функции в точке можно определить из приближенного равенства:
, (.9)
где dx и dy – приращения аргументов «х» и «у» соответственно.
Пример 7. Найти полный дифференциал «dz» и полное приращение
«» для функции , если координаты начальной и конечной точек
М0(, ,) и М1(,
Решение. Найдем значения функции в заданных точках:
и .
по таблице логарифмов или при помощи калькуляторов. Определим приращение функции:
.
Найдем дифференциалы аргументов, как их приращения:
, .
Тогда ,
и, окончательно, получаем
.
Сравним приращение и дифференциал по их разности:
, т.е. они мало отличаются друг от друга. Поэтому в вычислениях можно использовать формулу 9:
.
Найдем относительную погрешность вычислений:
,
что говорит о достаточной степени точности проведенных вычислений.
|
В разных точках функция имеет различные значения частных производных, поэтому дифференциалы будут разными. По ним можно судить о степени возрастания и убывания функции.
|
|
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!