Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Топ:
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Интересное:
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Дисциплины:
2017-11-22 | 528 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Геометрический смысл предела функции на бесконечности заключается в том, что для любого найдется такое число , что для всех , которые принадлежат объединению интервалов: , соответствующие значения функции попадают в – окрестность числа , т.е. точки графика функции при соответствующих значениях лежат в полосе шириной , ограниченной горизонтальными прямыми и .
5.4. Односторонние пределы
Определение 5.5. Число называется левосторонним пределом функции при , стремящимся к , если для любого положительного числа , как бы мало оно ни было, найдется такое положительное число , что для всех , удовлетворяющих неравенству: , будет справедливо неравенство . Обозначается: .
Определение 5.6. Число называется правосторонним пределом функции при , стремящимся к , если для любого положительного числа , как бы мало оно ни было, найдется такое положительное число , что для всех , удовлетворяющих неравенству: , будет справедливо неравенство . Обозначается: .
Определение 5.7. Число называется пределом функции при стремящимся к слева, если функции определена на промежутке , и какова бы ни была последовательность , сходящаяся к точке слева, т.е.такая, что для всех натуральных , соответствующая ей последовательность значений функции существует и сходится к числу . Это записывают, как: или .
Определение 5.8. Число называется пределом функции при стремящимся к справа, если функции определена на промежутке , и какова бы ни была последовательность , сходящаяся к точке справа, т.е.такая, что для всех натуральных , соответствующая ей последовательность значений функции существует и сходится к числу . Это записывают, как: или .
Если определена в интервале , то в точке может иметь смысл только число , а в точке – только число .
|
Отметим, что двусторонний предел существует лишь тогда, когда существуют оба односторонних предела, которые равны друг другу, то есть .
В этом случае
Бесконечно большие функции
Определение 5.9. Функция называется бесконечно большой в точке , если для любой последовательности значений аргумента соответствующая последовательность значений функции является бесконечно большой.
Определение 5.10. Функция называется бесконечно большой в точке , если для любого положительного числа , как бы велико оно ни было, существует такое число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , справедливо неравенство .
То, что функция является бесконечно большой в точке , соответствует тому, что . Кратко это записывают так: .
5.8. С войства функций, имеющих пределы
Теорема 5.2. Если существует конечный предел , то для всех принадлежащих некоторой окрестности точки функция является ограниченной, т.е. существуют такие положительные числа и , что для всех , удовлетворяющих неравенству , следует, что .
Доказательство. Из условия теоремы следует, что для любого найдется такое число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , следует . Возьмем . И раскроем последнее неравенство по свойству модуля: .
Или . Отсюда следует, что . Если взять , то получим, что , что и требовалось. Теорема доказана.
Теорема 5.3. Если существует конечный предел , и , то для всех принадлежащих некоторой окрестности точки функция удовлетворяет условию: . Более того, для указанных функция , если , и , если .
Доказательство. Из условия теоремы следует, что для любого (в частности, возьмем ) найдется такое число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , следует . Раскроем последнее неравенство: , которое выполняется для всех окрестности точки . Получили . Или для указанных . При следует, что и . При следует, что для всех окрестности точки . Тогда, раскрывая модуль в неравенстве , получаем или , что и требовалось доказать.
|
Теорема 5.4. Еслисуществуют конечные пределы и , и для всех принадлежащих некоторой окрестности точки функции и удовлетворяют неравенству , то .
Доказательство. Пусть последовательность сходится к . Тогда для существует достаточно большой номер , что при всех следует:
, а после предельного перехода в последнем неравенстве, получаем: , что и требовалось.
|
|
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!