Глава 9. Коэффициент корреляции

Задача №1 Расчет коэффициента корреляции методом квадратов (метод Пирсона).

На основании приведенных данных требуется:

1. Вычислить коэффициент корреляции;

2. Определить характер и силу связи между соответствующими признаками.

3. Определить достоверность коэффициента корреляции.

Длина и масса тела у десяти мальчиков в возрасте 7 лет:

Длина тела, см (X)	масса тела, кг (Y)

 

Решение:

Для решения данной задачи используем формулу Пирсона:

1). Определяем средние арифметические в обеих группах:

Длина

Масса

 

2). Определяем отклонения каждой варианты от среднего арифметического значения. d = V – M;

Таблица 1

 

Длина тела, см (V)	d(x)	масса тела, кг (V)	d(y)
	-8,5		-1,3
	-10,5		-2,3
	-5,5		-1,3
	4,5		2,7
	2,5		-0,3
	-2,5		-1,3
	6,5		-0,3
	1,5		-1,3
	3,5		0,7
	8,5		4,7
M=103,5		M=16,3

 

3). Находим сумму произведений соответствующих отклонений:

dx_1*dy₁ + dx_2*dy₂ +….. (см. таб. 2).

 

4). Находим сумму квадратов отклонений отдельно по каждому столбику:

dx₁² + dx₂² +….. (см. таб.2).

 

Таблица 1

Длина тела, см	dx	dx2		масса тела, кг	dy	dy2	dx*dy
	-8,5	72,25			-1,3	1,69	11,05
	-10,5	110,25			-2,3	5,29	24,15
	-5,5	30,25			-1,3	1,69	7,15
	4,5	20,25			2,7	7,29	12,15
	2,5	6,25			-0,3	0,09	-0,75
	-2,5	6,25			-1,3	1,69	3,25
	6,5	42,25			-0,3	0,09	-1,95
	1,5	2,25			-1,3	1,69	-1,95
	3,5	12,25			0,7	0,49	2,45
	8,5	72,25			4,7	22,09	39,95
M=103,5		∑=374,5	.	M=16,3		∑=42,1	∑=95,5

Коэффициент корреляции равный +0,76 свидетельствует о наличии прямой сильной связи между ростом 7-летних детей и массой их тела.

 

Определяем достоверность коэффициента корреляции:

А) вычисляем его ошибку

Б) определяем доверительный коэффициент (t) и степень вероятности безошибочного прогноза (p):

достоверность коэффициента корреляции определяется по формуле:

Критерий достоверности (t) должен быть равен или больше 2, что соответствует вероятности безошибочного прогноза (p) ≥ 95%/

 

Задача №2 Расчет коэффициента корреляции методом рангов (метод Спирмена).

На основании приведенных данных требуется:

1. Вычислить коэффициент корреляции;

2. Определить характер и силу связи между соответствующими признаками.

3. Определить достоверность коэффициента корреляции.

Экспертами оценивались вкусовые качества разных вин.

Суммарные оценки получены следующие:

Марка вина	Оценка в баллах	Цена, в у.е.
		1.57
		1.60
		2.00
		2.10
		1.70
		1.85
		1.80
		1.15
		2.30
		2.40

 

Согласуется ли оценка вина с его ценой. Проверьте эту гипотезу методами ранговой корреляции.

 

 

Решение:

Для оценки тесноты связи применим коэффициент Спирмена.

Формула:

где: - квадрат разности между рангами взаимосвязанных признаков X и Y;

n – число пар рангов.

Ранжировать оба признака необходимо в одном и том же направлении: либо от меньших значений к большим, либо наоборот.

Если среди значений признаков X и Y встречается несколько одинаковых, образуются связанные ранги, т.е. одинаковые средние номера. Например, вместо одинаковых по порядку третьего и четвертого значений признака X будут два ранга по 3.5.

 

Расчет показателей взаимосвязи цены и качества вина:

Марка вина	Ранг	Разность рангов
Ранг оценки в баллах	Ранг цены в у.е.
			-2
	3.5		-0.5	0.25
	3.5		-2.5	6.25
Итого	-	-	-	23.5

 

Коэффициент Спирмена =

Таким образом, величина рангового коэффициента корреляции Спирмена свидетельствует о прямой, довольно тесной связи между рассматриваемыми показателями.

 

А) вычисляем его ошибку

Б) определяем доверительный коэффициент (t) и степень вероятности безошибочного прогноза (p):

достоверность коэффициента корреляции определяется по формуле:

Критерий достоверности (t) должен быть равен или больше 2, что соответствует доверительной вероятности безошибочного прогноза ≥ 95% (уровень значимости p≤0,05).

 

Задания для самостоятельной работы

Вариант №1

На основании приведенных данных требуется:

· Вычислить коэффициент корреляции по методу квадратов (метод Пирсона).

· Определить характер и силу связи между соответствующими признаками.

 

Длина и масса тела у десяти мальчиков в возрасте 7 лет:

Длина тела, см	масса тела, кг

 

Вариант №2

На основании приведенных данных требуется:

· Вычислить коэффициент ранговой корреляции (метод Спирмена).

· Определить характер и силу связи между соответствующими признаками.

 

Возраст матери и количество сцеженного грудного молока:

Возраст матери	Кол-во сцеженного молока

 

Вариант №3

На основании приведенных данных требуется вычислить:

· Вычислить коэффициент ранговой корреляции (метод Спирмена).

· Определить характер и силу связи между соответствующими признаками.

 

Длина и масса тела у десяти новорожденных:

Длина тела, см	масса тела, кг
	4,5
	3,6
	4,1
	3,2
	3,8
	3,9
	3,9
	4,3

 

 

Вариант №4

На основании приведенных данных требуется:

· Вычислить коэффициент ранговой корреляции (метод Спирмена).

· Определить характер и силу связи между соответствующими признаками.

 

Результаты измерения систолического и диастолического давления у десяти здоровых девушек в возрасте 15 лет:

Уровень систолического давления	Уровень диастолического давления

 

Вариант №5

На основании приведенных данных требуется:

· Вычислить коэффициент корреляции по методу квадратов (метод Пирсона).

· Определить характер и силу связи между соответствующими признаками.

 

Длина и масса тела у десяти девочек в возрасте 5,5 лет

Длина тела, см	масса тела, кг

 

 

Вариант №6

На основании приведенных данных требуется:

· Вычислить коэффициент корреляции по методу квадратов (метод Пирсона).

· Определить характер и силу связи между соответствующими признаками.

 

Вероятность летального исхода от сосудистых нарушений мозгового кровообращения:

Возраст	Вероятность смерти от СНМК
	5,6
	5,7
	5,7
	5,6
	7,6
	7,7
	9,3
	10,7
	10,5

 

 

 

 

Вариант №7

На основании приведенных данных требуется:

· Вычислить коэффициент корреляции по методу квадратов (метод Пирсона).

· Определить характер и силу связи между соответствующими признаками.

 

Результаты измерения роста и массы десяти девушек в возрасте 21 год:

Длина тела, см	масса тела, кг

 

Вариант №8

На основании приведенных данных требуется:

· Вычислить коэффициент ранговой корреляции (метод Спирмена).

· Определить характер и силу связи между соответствующими признаками.

 

Частота раннего прикорма и заболеваемость желудочно-кишечными заболеваниями на 100 детей в возрасте до одного года по десяти районам области соответственно:

Частота раннего прикорма	Желудочно-кишечные заболевания

 

 

Вариант №9

На основании приведенных данных требуется:

· Вычислить коэффициент корреляции по методу квадратов (метод Пирсона).

· Определить характер и силу связи между соответствующими признаками.

 

Зависимость заболеваемости гриппом на 10000 населения от вакцинации по районам города Новосибирска.

 

Районы города Новосибирска	Процент населения, охваченных вакцинацией от гриппа	Заболеваемость гриппом на 10000 населения
Центральный
Калининский
Октябрьский
Железнодорожн.
Заельцовский
Советский
Дзержинский
Ленинский
Кировский
Первомайский

 

Вариант №10

На основании приведенных данных требуется:

· Вычислить коэффициент ранговой корреляции (метод Спирмена).

· Определить характер и силу связи между соответствующими признаками.

 

Результаты измерения систолического и диастолического давления у десяти больных артериальной гипертонией.

Уровень систолического давления	Уровень диастолического давления

 

Вариант №11

На основании приведенных данных требуется:

· Вычислить коэффициент корреляции по методу квадратов (метод Пирсона).

· Определить характер и силу связи между соответствующими признаками.

 

Смертность от рака молочной железы и рака шейки матки в 10 районах области.

Смертность от рака молочной железы	Смертность от рака шейки матки
29,3	15,6
24,5	17,9
21,1	5,9
17,3	8,7
18,9	13,2
9,5	17,4
19,7	21,5
31,4	16,2
17,3	18,9
15,0	21,0

Вариант №12

На основании приведенных данных требуется вычислить:

· Вычислить коэффициент ранговой корреляции (метод Спирмена).

· Определить характер и силу связи между соответствующими признаками.

 

Длина и масса тела у десяти студентов

 

Длина тела, см	масса тела, кг