Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Топ:
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Интересное:
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Дисциплины:
2017-11-27 | 351 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Для характеристики взаимного расположения векторов в пространстве вводится понятие линейной зависимости между векторами.
Определение. Линейной комбинацией трёх векторов в пространстве называется вектор
где l1, l2, l3 некоторые действительные числа, называемые коэффициентами линейной комбинации. Говорят, что вектор ā разложен по векторам .
Определение. Векторы называются линейно-зависимыми, если существуют такие постоянные числа, одновременно не равные нулю (хотя бы один из них не равен нулю), что выполняется равенство
Если это равенство выполняется только для l1 = l2 = l3 = 0, то векторы называются линейно-независимыми.
Если – линейно-зависимые векторы, то один из них является линейной комбинацией остальных.
Например, l3 ≠ 0, тогда . Это равенство говорит, что вектор является линейной комбинацией векторов и .
Примером линейной зависимости векторов могут быть два коллинеарных вектора и , так как в этом случае имеет место соотношение , где l– некоторое действительное число.
Из элементарной математики известно, что если и – два неколлинеарных вектора, то всякий компланарный им вектор однозначно представляется в виде линейной комбинации этих векторов (2.1)
. (2.1)
Отсюда следует, что любые три компланарных вектора линейно- зависимы.
Примером линейной независимости векторов могут быть три некомпланарных вектора , а любой четвертый вектор пространства единственным образом разлагается в их линейную комбинацию
. (2.2)
Равенство (2.2) означает, что любые четыре вектора в пространстве являются линейно-зависимыми.
Базис пространства и разложение вектора по базису
Определение. базисом пространства назовется совокупность линейно-независимых векторов, по которым можно разложить любой вектор этого пространства. В трехмерном пространстве это будет любая тройка некомпланарных векторов, на плоскости любая пара неколлинеарных векторов, а на прямой – любой ненулевой вектор. Векторы, составляющие базис называются базисными.
|
Таким образом, формула (2.1) представляет собой разложение вектора по базису на плоскости, а формула (2.2) – разложение вектора по базису в пространстве . Эти разложения единственны.
Коэффициенты l1 , l2 , l3 в разложении (2.2) называются координатами вектора по базису . Аналогично интерпретируются коэффициенты l1 и l2 в равенстве (2.1).
Основное значение базиса состоит в том, что линейные операции над векторами в заданном базисе сводятся к обычным линейным операциям над числами – координатами векторов.
Теорема: 2.1. При сложении двух векторов и их соответствующие координаты суммируются. При умножении вектора на любое число l все его координаты умножаются на это число.
Доказательство. Пусть и . Тогда в силу свойств линейных операций над векторами и единственности разложения вектора по базису получим
|
|
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!