История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Топ:
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Интересное:
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Дисциплины:
2017-11-17 | 357 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Приведение системы с постоянными коэффициентами к одному дифференциальному уравнению дает линейное однородное или неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами высшего порядка. Следовательно, структура решения такой системы дифференциальных уравнений должна быть аналогичной решению линейных дифференциальных уравнений.
Пусть дана нормальная система дифференциальных уравнений:
где – постоянные коэффициенты. Как показано в п. 24, данную систему можно представить в матричном виде: . Здесь – матрица-столбец или вектор, составленный из решений системы, – матрица из коэффициентов системы.
Будем искать решение системы в виде , ,…, или , поскольку лишь такое решение может удовлетворить всем уравнениям. Числа подлежат определению. Случай рассматривать не будем, так как он дает тривиальное решение системы.
Для нахождения нетривиального решения подставим данные функции в систему:
Сокращая все уравнения на и перенося все члены в одну сторону, приходим к однородной системе линейных алгебраических уравнений:
(3.22.1)
или в матричной форме , где – единичная матрица -го порядка, .
Чтобы однородная система линейных алгебраических уравнений имела не тривиальное решение, необходимо чтобы ее определитель был равен нулю. В результате мы приходим к уравнению -го порядка для определения :
Это уравнение называется характеристическим уравнением системы, а его корни – корнями характеристического уравнения.
Рассмотрим несколько случаев корней характеристического уравнения.
1. Корни характеристического уравнения действительные и различные. Обозначим через , ,…, корни характеристического уравнения. Для каждого корня решим систему (3.22.1), определяя коэффициенты , ,…, . Система (3.22.1) имеет ранг матрицы на единицу меньше ее порядка, то есть одна переменная является свободной. Обычно ее полагают равной единице.
Таким образом, получаем
для – , ,…, ;
для – , ,…, ;
для – , ,…, .
Решением системы будет линейная комбинация полученных функций:
Определитель Вронского, составленный для функций , ,…, , в ноль не обращается, следовательно, это действительно будет общее решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений в данном случае.
2. Корни характеристического уравнения действительные и кратные. В том случае, когда какой-то корень характеристического уравнения системы, например первый, является действительным и имеет кратность , то по аналогии с линейными дифференциальными уравнениями -го порядка общее решение приобретет вид:
Чтобы определить неизвестные коэффициенты , ,… подставляют функции , ,…, в систему дифференциальных уравнений и приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях .
3. Корни характеристического уравнения различные, но среди них есть комплексные. Пусть среди корней характеристического уравнения есть два комплексных: , . Этим корням будут соответствовать решения:
, ,
где . Коэффициенты и определяются из системы (3.22.1). Затем, составляя линейную комбинацию из этих решений по аналогии с линейными дифференциальными уравнениями -го порядка, получаем два частных решения:
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!