Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Топ:
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Интересное:
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Дисциплины:
2017-11-16 | 405 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Если существует конечный предел I интегральной суммы при λ → 0, и он не зависит от способа выбора точек ξ i, способа разбиения отрезка, то этот предел называется определенным интегралом от функции f (x)по отрезку [ a, b ] и обозначается следующим образом:
,
или
.
В этом случае функция f (x) называется интегрируемой на [ a, b ]. Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f (x) – подынтегральной функцией, х – переменной интегрирования. Следует заметить, что не имеет значения, какой буквой обозначена переменная интегрирования определенного интеграла
,
поскольку смена обозначений такого рода никак не влияет на поведение интегральной суммы
64. Теорема. Производная интеграла по переменной верхней границе равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена верхней границей.
.
Из вышесказанного имеем
,
где с Î[ х, х + Δ х ]. Переходя к пределу при Δ х → 0 и учитывая, что
в силу непрерывности функции f (x), получаем требуемое условие.
Следствие. Если функция y = f (х) непрерывна на отрезке [ a, b ], то для этой функции существует первообразная на отрезке [ а, b ].
Действительно, примером первообразной для f (x) является функция Ф (х).
Формула Ньютона—Лейбница
.
66.
1.Определённый интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции у = f (x), осью абсцисс, и прямыми х = а, х = b.
2. Если нижний и верхний пределы интегрирования поменять местами, то значение определённого интеграла изменится на противоположное
Доказательство.
.
3. Если промежуток интегрирования стянут в точку, фигура под кривой стягивается в отрезок, площадь которого равна нулю
|
.
4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла
,
где С — некоторое число.
Доказательство.
5. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций:
,
Это свойство остается справедливым для любого конечного числа слагаемых.
Доказательство.
6. Если промежуток интегрирования разбит на части, то интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по каждой части.
.
Доказательство. Пусть а < с < b и функция f (x) неотрицательна на [ a, b ]. Согласно геометрическому свойству определенного интеграла , есть площади соответствующих криволинейных трапеций. Тогда при сделанных предположениях имеем равенство между площадями S = S 1 + S 2.
7Если на отрезке [ a, b ], где а < b, имеет место неравенство 0 ≤ f (x) ≤ g (x), то
.
Обе части неравенства можно проинтегрировать, при этом смысл неравенства остаётся прежним.
Доказательство. Пусть фиксированы разбиение отрезка [ a, b ] и выбор точек x 1, x 2,…, xn на каждом из отрезков разбиения. Тогда из неравенства f (x) ≤ g (x) вытекает аналогичное неравенство для интегральных сумм:
.
Переходя к пределу при max Δ xi → 0, получим рассматриваемое неравенство для интегралов.
Следствие. Пусть на отрезке [ a, b ] где а < b, имеют место неравенства m ≤ f (x) ≤ M, где m и М — некоторые числа. Тогда
67. Теорема о среднем. Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ], где а < b, то найдется такое значение c Î [ a, b ], что
.
По свойству функции, непрерывной на отрезке, для произвольного значения х Î [ a, b ] вверны неравенства m ≤ f (x) ≤ M, где m и М — наименьшее и наибольшее значения функции на [ a, b ]. Тогда,
Функция, непрерывная на отрезке, принимает любое значение, заключенное между ее наименьшим и наибольшим значениями. Поэтому, в частности, найдется такое число с Î [ a, b ], что
,что и требовалось доказать.
Геометрический смысл теоремы о среднем. Пусть f (x) ≥ 0 на [ a, b ]. По теореме о среднем найдется такая точка, из отрезка [ a, b ], что площадь под кривой y = f (x)
|
на отрезке [ a, b ] равна площади прямоугольника со сторонами f (с) и (b - а).
68.
69.
|
|
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!