Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Топ:
Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Интересное:
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Дисциплины:
2017-10-21 | 258 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Функция распределения случайной величины и
Ее основные свойства.
Определение. Пусть случайная величина. Вещественная функция , заданная на множестве всех вещественных чисел, называется функцией распределения случайной величины .
Необходимо предположить, что события попадают в выбранную алгебру событий для любого ,где множество вещественных чисел, так как вероятность события была введена только для событий, входящих в .
Теорема 12.1. Пусть случайная величина, функция распределения случайной величины . Тогда для любого верно неравенство .
Теорема 12.2. Пусть случайная величина, функция распределения случайной величины . Тогда функция неубывает всюду на .
Теорема 12.3. Пусть случайная величина, функция распределения случайной величины . Пусть, кроме того
, .
Тогда верны равенства: 1) ; 2) .
Теорема 12.4 (о непрерывности функции слева). Пусть случайная величина, функция распределения случайной величины . Пусть, кроме того, левый односторонний предел функции в точке .
Тогда верно равенство .
Из теорем 2.1−2.4 следует, что график функции распределения выглядит примерно так:
Замечание. Можно показать, что любая функция , обладающая свойствами, указанными в теоремах 12.1−12.4, является функцией распределения некоторой случайной величины .
Теорема 12.5 (о вероятности попадания случайной величины в промежуток). Пусть случайная величина, функция распределения случайной величины . Пусть, кроме того, известно, что:
и правые односторонние пределы функции в точках и соответственно, , , ; , .
Тогда верны равенства:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) .
Замечание. Полезно думать, что функция распределения случайной величины−это главная вероятностная функция случайной величины. С ее помощью можно найти многие числовые характеристики случайной величины. Поэтому часто, задавая случайную величину, указывают ее функцию распределения или любой объект, с помощью которого функция распределения однозначно восстанавливается. Этот объект, также как и саму функцию распределения, обычно называют законом распределения случайной величины. Надо добавить, что на практике функцию распределения случайной величины можно найти приближенно с помощью эмпирической функции распределения методами математической статистики. Для вычисления числовых характеристик случайной величины требуется хорошо знать теорию интегралов, конечных сумм, рядов (бесконечных сумм). Явно недостаточно использование определенного интеграла и несобственных интегралов и интегрирования по Риману. Из-за этого в традиционных курсах теории вероятностей для технических университетов отдельно изучаются дискретные случайные величины и непрерывные случайные величины. Это приводит к неполной теории случайных величин. Если применять интегралы Стильтьеса или интегралы по мере (по вероятности) , а также интегрирование по Лебегу, то все случайные величины можно изучать вместе и получается полная теория случайных величин. Такая теория рассматривается в серьезных курсах теории вероятностей
|
Функция распределения случайной величины и
Ее основные свойства.
Определение. Пусть случайная величина. Вещественная функция , заданная на множестве всех вещественных чисел, называется функцией распределения случайной величины .
Необходимо предположить, что события попадают в выбранную алгебру событий для любого ,где множество вещественных чисел, так как вероятность события была введена только для событий, входящих в .
Теорема 12.1. Пусть случайная величина, функция распределения случайной величины . Тогда для любого верно неравенство .
|
Теорема 12.2. Пусть случайная величина, функция распределения случайной величины . Тогда функция неубывает всюду на .
Теорема 12.3. Пусть случайная величина, функция распределения случайной величины . Пусть, кроме того
, .
Тогда верны равенства: 1) ; 2) .
Теорема 12.4 (о непрерывности функции слева). Пусть случайная величина, функция распределения случайной величины . Пусть, кроме того, левый односторонний предел функции в точке .
Тогда верно равенство .
Из теорем 2.1−2.4 следует, что график функции распределения выглядит примерно так:
Замечание. Можно показать, что любая функция , обладающая свойствами, указанными в теоремах 12.1−12.4, является функцией распределения некоторой случайной величины .
Теорема 12.5 (о вероятности попадания случайной величины в промежуток). Пусть случайная величина, функция распределения случайной величины . Пусть, кроме того, известно, что:
и правые односторонние пределы функции в точках и соответственно, , , ; , .
Тогда верны равенства:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) .
Замечание. Полезно думать, что функция распределения случайной величины−это главная вероятностная функция случайной величины. С ее помощью можно найти многие числовые характеристики случайной величины. Поэтому часто, задавая случайную величину, указывают ее функцию распределения или любой объект, с помощью которого функция распределения однозначно восстанавливается. Этот объект, также как и саму функцию распределения, обычно называют законом распределения случайной величины. Надо добавить, что на практике функцию распределения случайной величины можно найти приближенно с помощью эмпирической функции распределения методами математической статистики. Для вычисления числовых характеристик случайной величины требуется хорошо знать теорию интегралов, конечных сумм, рядов (бесконечных сумм). Явно недостаточно использование определенного интеграла и несобственных интегралов и интегрирования по Риману. Из-за этого в традиционных курсах теории вероятностей для технических университетов отдельно изучаются дискретные случайные величины и непрерывные случайные величины. Это приводит к неполной теории случайных величин. Если применять интегралы Стильтьеса или интегралы по мере (по вероятности) , а также интегрирование по Лебегу, то все случайные величины можно изучать вместе и получается полная теория случайных величин. Такая теория рассматривается в серьезных курсах теории вероятностей
|
|
|
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!