Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Топ:
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Интересное:
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Дисциплины:
2017-10-11 | 363 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
I. ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Приобретение навыков решения интегральных уравнений первого рода
II. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Задачи для интегральных уравнений первого рода являются некорректно поставленными.
Рассмотрим уравнение Фредгольма первого рода
, , (1)
где ядро является непрерывной функцией по переменным ; - известная функция; - искомая функция.
Будем полагать, что уравнение (1) с точной правой частью имеет единственное решение.
Если вместо известно лишь ее приближение , мало отличающееся (в метрике ) от , то можем искать лишь приближенное решение уравнения (1). В качестве приближенного решения уравнения (1) нельзя брать точное решение уравнения
. (2)
так как такого решения может не существовать. Кроме того, такое решение не обладает свойством устойчивости к малым изменениям правой части уравнения.
Будем искать решение уравнения (2) методом регуляризации. Согласно методу построим сглаживающий функционал , выбрав стабилизатор первого порядка :
, (3)
где - параметр регуляризации;
- заданные неотрицательные непрерывные функции (если нет специальных соображений по выбору функций , то обычно полагают ). Затем найдем функцию , минимизирующую функционал (3), причем параметр определим по невязке, т.е. из условия
, (4)
где - уклонение правой части интегрального уравнения в метрике пространства , которое считаем известным:
Решение будет устойчиво к малым изменениям в метрике правой части уравнения .
Функция будет являться приближенным решением уравнения (1).
Для нахождения параметра регуляризации будем проводить расчеты с несколькими значениями параметра
(например,
Для каждого значения находим функцию , минимизирующую функционал (3).
|
В качестве искомого значения параметра регуляризации возьмем такое число , для которого с требуемой точностью выполняется условие (4), т.е. невязка, полученная при подстановке найденной функции в уравнение (2), должна быть сравнима с погрешностью правой части интегрального уравнения.
Обратимся теперь к вариационной задаче
Полагая , получим
(5)
Проведем дискретизацию сглаживающего функционала, воспользовавшись разностным методом.
Аппроксимируем входящие в функционал интегралы квадратурными формулами. Для этого введем на прямоугольнике сетку , так, что .
Для простоты рассмотрим равномерную сетку
где
.
Вычислим по формуле средних, заменяя производную разностным отношением
,
где .
Таким образом,
. (6)
Остальные интегралы вычислим по формуле трапеций
(7)
где
где
(8)
где
Подставляя выражения (6) - (8) в (5), получим
(9)
Для решения задачи (9) приравняем к нулю производные от левой части (9) по . Получим систему уравнений, линейных относительно :
(10)
где
Систему (10) решим каким-либо методом, например, методом Гаусса.
Параметр следует подобрать способом, указанным выше. Заметим, что условие (4) в результате дискретизации запишем в виде:
III. ЗАДАНИЕ
Найти приближенное решение интегрального уравнения
полагая
Здесь - последняя цифра в номере группы; - номер фамилии студента в журнале группы.
IV. ОФОРМЛЕНИЕ ОТЧЕТА
В отчете должны быть представлены:
1. Название работы.
2. Постановка задачи.
3. Описание алгоритма (метода) решения.
4. Текст программы с описанием.
5. Результаты работы программы.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. — М.: Наука, 1979. 286 с.
2. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. — М.: БИНОМ. Лаборатория Знаний, 2007 636с.
3. Калиткин Н.Н. Численные методы. -М.: Наука, 1978. 512 с.
|
|
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!