Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Топ:
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Интересное:
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Дисциплины:
2017-10-09 | 558 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
В предыдущих лекциях при исследовании функционала
предполагалось, что граничные точки и заданы. Подобное предположение не всегда выполняется для многих интересных и практически важных вариационных задач. Рассмотрим в качестве примера задачу навигации.
Задача навигации
В этой задаче рассматривается река ширины с прямыми параллельными берегами. Считая один берег реки совпадающим с осью , введем скорость течения реки . Лодка с постоянной скоростью
( – величина скорости, ), за кратчайшее время должна пересечь реку, отчалив из точки (рис.1).
Обозначим через угол, который образует вектор скорости лодки с положительным направлением оси . Тогда реальная скорость движения лодки в момент времени определяется равенствами
, .
Отсюда
,
что позволяет выразить через :
,
откуда
.
Для времени пересечения реки находим
.
Последний интеграл должен быть минимизирован за счет выбора функции при условии .
Как видим, в отличие от предыдущих задач, правый конец искомой кривой заранее не определен: он может оказаться на любой точке вертикальной прямой . Мы приходим, таким образом, к задаче со свободной (подвижной) границей. Найдем ее решение в общей постановке.
Вариационная задача с вертикальными границами
Пусть в задаче об отыскании экстремума функционала
фиксирована одна граничная точка , условий же на нет. Иными словами, второй конец допустимой кривой может перемещаться по вертикальной прямой .
Нулевая вариация , как и ранее, является необходимым условием экстремальности. Вычисляя вариацию функционала по известной формуле, получаем:
.
|
Как и ранее, – произвольная функция, в частности, можно взять , что сведет задачу к уже решенной задаче с закрепленными границами. Для нее, как известно, необходимое условие экстремальности означает обращение в тождество уравнения Эйлера. Отсюда следует, что , то есть интеграл в формуле для вариации равен нулю.
Теперь выберем функцию так, чтобы . Тогда требование равенства нулю вариации сводится к условию
.
Если бы левый конец тоже был свободным, получили бы аналогичное условие
.
Решение задачи навигации
Вернемся к задаче навигации и найдем ее решение, используя полученный выше результат.
Итак, нам следует найти минимум функционала
при условии , а может принимать любое значение.
Согласно вышеприведенной схеме, решаем уравнение Эйлера. Так как подынтегральная функция
зависит только от и , то уравнение Эйлера допускает первый интеграл: . С другой стороны, поскольку вторая граница экстремали перемещается по вертикальной прямой, для нее должно выполняться условие . Отсюда сразу следует, что вышеприведенный первый интеграл имеет вид: . Получаем дифференциальное уравнение первого порядка
,
для которого легко найти решение. Находя явное выражение для , получаем . Так как предполагается (см. рис. 1), что переправа осуществляется с левого берега на правый, то перед дробью следует выбрать знак плюс. Учитывая, что , получаем окончательно:
.
В частности, если , то искомый маршрут наибыстрейшей переправы реализуется на прямой .
|
|
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!