Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Топ:
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Интересное:
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Дисциплины:
2017-10-09 | 367 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Рассмотрим приложения производной к исследованию поведения функций.
Возрастание и убывание функций
Теорема. Если производная дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка Х, то функция возрастает (соответственно убывает) на этом промежутке.
Доказательство. Пусть ; ; . Надо доказать, что . Для на отрезке выполняются условия теоремы Лагранжа. Поэтому
,
где . По условию , следовательно, . Отсюда . Теорема доказана.
Аналогично доказывается, что если производная отрицательна внутри некоторого промежутка, то функция убывает на этом промежутке.
Доказанная теорема дает достаточное условие возрастания (убывания) функции.
Необходимое условие монотонности формулируется следующим образом:
если функция возрастает (убывает) на некотором промежутке, то (соответственно ) на этом промежутке.
Итак,
1) если , то возрастает;
2) если возрастает, то , т.е. в отдельных точках производная возрастающей функции может равняться нулю.
Аналогичные утверждения верны для убывающей функции.
Экстремумы
Определение 1. Точка называется точкой максимума функции , если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство .
Определение 2. Точка называется точкой минимума функции , если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство .
Значения функции в точках и называются соответственно максимумом и минимумом функции (т.е. – максимум, – минимум).
Общий термин для максимума и минимума – экстремум.
Необходимое условие экстремума. Если в точке дифференцируемая функция имеет экстремум, то в некоторой окрестности этой точки выполнены условия теоремы Ферма, следовательно, . Но функция может иметь экстремум и в точках, в которых она не дифференцируема. Поэтому необходимое условие экстремума можно сформулировать следующим образом.
|
Для того чтобы функция имела экстремум в точке , необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю ( ) или не существовала.
Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума (т.е. точки, в которых производная равна нулю или не существует), называются критическими (или стационарными).
Итак, если в какой-либо точке имеется экстремум, то эта точка критическая. Заметим, что обратное утверждение неверно. Критическая точка не всегда является точкой экстремума.
Пример. . В точке производная этой функции равна нулю. Но в этой точке нет ни минимума, ни максимума.
Первое достаточное условие экстремума. Если при переходе через точку производная дифференцируемой функции меняет знак с плюса на минус, то в точке имеется максимум, а если с минуса на плюс, то – минимум.
Доказательство. Пусть производная меняет знак с плюса на минус, т.е. в некотором интервале выполняется условие , а в некотором интервале – условие . Тогда функция возрастает на интервале и убывает на интервале . Поэтому и для , и для , т.е. для всех . А это значит, что в точке – максимум.
Для случая, когда производная меняет знак с минуса на плюс, доказательство аналогично.
Заметим, что если изменения знака не происходит, то экстремума нет.
|
|
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!