Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Топ:
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Интересное:
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Дисциплины:
2017-10-08 | 533 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Дифференциальным уравнением первого порядка называется соотношение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее производную: (1)
Обычно мы будем иметь дело с уравнениями, которые можно разрешить относительно производной (2)
Если в (2) положить , то уравнение (2) можно записать в симметричной форме: (3)
Здесь переменные x и y равноправны.
Иногда бывает выгодно рассматривать х как функцию y. В этом случае часто применяют форму записи (3).
Задача Коши.
Это записывают так: (4)
Такая задача называется задачей Коши.
Условие называется начальным условием. Начальные условия необходимы для определения соответствующего значения произвольной постоянной С. Покажем на примере как вычисляется С.
Пусть требуется среди решений уравнения (5)
найти такое, которое при обращается в нуль, т.е. . (6)
Общим решением служит функция (7)
Так как требуется, чтобы выполнялось (6), то должно быть , а это возможно только при . Следовательно, частное решение, удовлетворяющее условию (6), получается из общего решения при , т.е. . Это и есть решение задачи Коши.
Основное свойство общего решения:
Общее решение дифференциального уравнения обладает тем свойством, что из него по любому заданному допустимому начальному условию может быть найдено частное решение, удовлетворяющее этому условию. Это означает, что подставив в общее решение вместо и вместо , получаем уравнение относительно С: , из которого всегда может быть найдено значение и притом единственное. Функция служит искомым частным решением.
|
Замечания:
1. Сформулированное основное свойство общего решения справедливо при определенных требованиях, наложенных на функцию . Эти требования даются теоремой существования и единственности.
2. Допустимыми начальными условиями называются такие условия, когда точка , где D – область определения функции .
3. Пусть будет общим решением некоторого дифференциального уравнения.
Условие Липшица
Рассмотрим функцию , определенную и непрерывную в прямоугольнике К:
Определение. Если для любого и любых двух значений и переменной :
, существует такое, не зависящее от х число , что выполнено неравенство: (1), то говорят, что функция в области К удовлетворяет условию Липшица с постоянной L.
Замечания:
1. Если в области К имеет непрерывную частную производную , то всегда найдется такое L, что условие (1) будет выполнено. Действительно, тогда по формуле Лагранжа (2),
– лежит между и .
В силу непрерывности в К и замкнутости области К, в К ограничена, т.е. , где L – некоторая константа. В этом случае, в частности, за L можно принять .
2. Условие Липшица (1) более слабое, чем существование частной производной , так как оно может быть выполнено и в том случае, когда существует не всюду в К.
|
|
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!